Биссектриса угла А параллеграмма ABCD пересекает сторону BC в точке K Найдите периметр этого параллелограмма если BK=15 см KC=9 см

Задача: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Даны BK = 15 см и KC = 9 см. Найдите периметр параллелограмма.

1. Найдем нужные стороны

• BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
• Поскольку ABCD — параллелограмм, BC ∥ AD, значит AD = BC = 24 см.
• Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC). Нужны AB и BC (BC уже нашли).

2. Связь AB и BK через биссектрису AK Пусть AB = b (обозначим длину стороны AB), а AD = d = BC = 24 см. Положим систему координат так: A = (0,0), B = (b,0), D = (p,q) (непосредственно выражаем через сторону AD), C = B + D = (b + p, q). Вектор BC равен (p, q), длина BC равна d = sqrt(p^2 + q^2) = 24.

Лучшая идея — воспользоваться свойством биссектрисы: направление луча AK — сумма единичных векторов along AB и along AD. Но сделаем это по фактам пересечения:

• Направление AK задаётся как пропорциональная величина: AK направлена вектором u = (1,0) + (p/d, q/d) = (1 + p/d, q/d). Точнее, любая точка на AK имеет вид: AK(t) = t(1 + p/d, q/d).

• Линия BC задаётся как: BC(s) = B + s(p, q) = (b + sp, sq).

Уравняем эти две кривые для точки пересечения: t(1 + p/d) = b + sp t(q/d) = sq

Второе уравнение даёт, что при q ≠ 0: t/d = s, следовательно s = t/d. Подставим в первое: t(1 + p/d) = b + (t/d) p t + tp/d = b + tp/d t = b.

Следовательно, точка K достигается при t = b, а параметр на BC равен s = t/d = b/d.

Длина от B до K по BC равна BK = s · |BC| = (b/d) · d = b.

Таким образом, BK = AB. Это значит, что AB = BK = 15 см.

3. Находим периметр

• AB = 15 см
• BC = 24 см

P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 2 · 39 = 78 см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 78 см.