в геометрической прогрессии сумма первых четырёх членов равна 15 а сумма членов от второго до пятого включительно равно 30 найти и знаменатель прогрессии
Задача: в геометрической прогрессии сумма первых четырех членов равна 15, сумма членов с второго по пятый включительно равна 30. Найти знаменатель прогрессии.
Пояснение и решение (пошагово)
Обозначим первый член за a, общий множитель прогрессии за q (знаменатель прогрессии). Тогда члены прогрессии: a, aq, aq^2, aq^3, aq^4, ...
Сумма первых четырех членов: S4 = a(1 + q + q^2 + q^3) = 15.
Сумма членов с 2-го по 5-й включительно: S2-5 = aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = aq(1 + q + q^2 + q^3) = 30.
Если выражение (1 + q + q^2 + q^3) не равно нулю (что разумно, иначе S4 бы не был равен 15), можно разделить вторую сумму на первую: [aq(1 + q + q^2 + q^3)] / [a(1 + q + q^2 + q^3)] = q = 30/15 = 2. Значит знаменатель прогрессии q = 2.
Найдем первый член a, подставив q в S4: a(1 + 2 + 4 + 8) = a·15 = 15 → a = 1.
Проверка: П первые четыре члена: 1, 2, 4, 8 → сумма 1+2+4+8 = 15 (верно). Сумма второго по пятый: 2, 4, 8, 16 → сумма 2+4+8+16 = 30 (верно).
Ответ:
- Знаменатель прогрессии (общий коэффициент) q = 2.
- Первый член a = 1.
- Прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, ...
