19. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани – 15 см. Найдите боковое ребро.
Решение (пошагово)
Дано: в правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат со стороной a, высота пирамиды h = 12 см, высота боковой грани (высота треугольной боковой грани) f = 15 см. Нужно найти боковое ребро L (соединяющее вершину пирамиды с любой вершиной основания).
- Обозначения
- Пусть VA — боковое ребро, его длина L.
- Центр основания — O. Вершина пирамиды — V, и VO ⟂ основанию; VO = h = 12.
- Радиус-проекция вершины A на основание от центра: OA = расстояние от O до вершины основания A. Для квадрата со стороной a: OA = a/√2, поэтому OA^2 = a^2/2.
Связь бокового ребра с высотой и с OA По принципу Пифагора в треугольнике VOA имеем: L^2 = VO^2 + OA^2 = h^2 + a^2/2 = 12^2 + a^2/2 = 144 + a^2/2.
Высота боковой грани Латеральная грань VAB — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами VA = VB = L и основанием AB = a. Ее высота к основанию AB опускается в точку середины M отрезка AB, и длина этой высоты равна: f^2 = L^2 − (a/2)^2.
Подставляем выражение для L^2 из п.2: f^2 = (h^2 + a^2/2) − a^2/4 = h^2 + a^2/4.
Подстановка чисел f = 15, h = 12. Тогда: 15^2 = 12^2 + a^2/4 225 = 144 + a^2/4 a^2/4 = 81 a^2 = 324 a = 18 см.
Боковое ребро Теперь найдём L: L^2 = h^2 + a^2/2 = 12^2 + 324/2 = 144 + 162 = 306 L = √306 = 3√34 ≈ 17,49 см.
Ответ: боковое ребро равно √306 ≈ 17,5 см (точно 3√34 см).
