√21

Задача: √21 Кратко: корень из 21 уже в простейшей радикальной форме, так как 21 = 3 · 7 и в записи под корнем нет квадратных множителей. Поэтому √21 оставить так и найти приближённое значение. Подробное решение и объяснение 1) Упрощение радикала - Факторизация: 21 = 3 · 7. - Нет квадратных факторов (например 4, 9, 16 и т. д.), поэтому радикал не может быть упрощён дальше. - Вывод: корень √21 — это простое радикальное выражение. 2) Где лежит значение √21 - 4^2 = 16, 5^2 = 25. - 21 лежит между этими квадратами, следовательно, √21 находится между 4 и 5. - Это даёт начальную оценку: 4 < √21 < 5. 3) Приближённое значение (несколько способов) Способ A: метод Ньютона (итерационный) - Выбираем начальное приближение, например x0 = 4.5. - Формула обновления: x_{n+1} = (x_n + 21/x_n) / 2. Вычисления: - x1 = (4.5 + 21/4.5) / 2 = (4.5 + 4.6666667) / 2 ≈ 4.5833333 - x2 = (x1 + 21/x1) / 2. 21/x1 ≈ 21 / 4.5833333 ≈ 4.5818182, тогда x2 ≈ (4.5833333 + 4.5818182) / 2 ≈ 4.58257576 Получилось очень точное приближённое значение: √21 ≈ 4.58257576. Способ B: линейная аппроксимация рядом с 4.58 - 4.58^2 = 20.9764, разность до 21: Δ = 21 − 20.9764 = 0.0236. - Приближённое изменение корня: δ ≈ Δ / (2 · 4.58) ≈ 0.0236 / 9.16 ≈ 0.00258. - Оценка: √21 ≈ 4.58 + 0.00258 ≈ 4.58258 (очень близко к точному значению). 4) Итог - В простейшей форме: √21 = √(3·7) (нельзя сократить). - Приближённое значение (точно до десятых долей): ≈ 4.58257576. - Округление: - до 4 знаков после запятой: ≈ 4.5826 - до 3 знаков после запятой: ≈ 4.583 Проверка (проверяем квадрат): - 4.58257576^2 примерно равно 21 (погрешность очень мала), что подтверждает корректность приближённого значения.