реши неравенства a) 4x ^ 2 + 4x - 3 ≥ 0 в) 6x ^ 2 - 7x - 20 ≤0 б) 12x ^ 2 + x - 1 < 0 г) 15x ^ 2 - 29x - 2 > 0
Ниже детальное решение каждой неравенства с пояснениями.
Задано: a>0 во всех случаях, значит парабола открывается вверх, и для неравенств с ≥0 или ≤0 решение складывается из знакоперестановок по интервалам между корнями.
а) 4x^2 + 4x - 3 ≥ 0
- Факторизация: 4x^2 + 4x - 3 = (2x + 3)(2x - 1).
- Корни уравнения (2x + 3)(2x - 1) = 0: x = -3/2 и x = 1/2.
- Поскольку парабола открывается вверх, знак выражения вне промежутка между корнями положительный, внутри — отрицательный.
- Решение: x ∈ (-∞, -3/2] ∪ [1/2, +∞).
в) 6x^2 - 7x - 20 ≤ 0
- Факторизация: 6x^2 - 7x - 20 = (2x - 5)(3x + 4).
- Корни: x = 5/2 и x = -4/3.
- Так как a>0, знак параболы такой: ≤0 на промежутке между корнями.
- Решение: x ∈ [-4/3, 5/2].
б) 12x^2 + x - 1 < 0
- Заметим факторизацию: 12x^2 + x - 1 = (3x + 1)(4x - 1).
- Корни: x = -1/3 и x = 1/4.
- Так как a>0, парабола вверх, выражение отрицательно между корнями.
- Решение: x ∈ (-1/3, 1/4).
г) 15x^2 - 29x - 2 > 0
- Корни через дискриминант: D = (-29)^2 - 4·15·(-2) = 841 + 120 = 961, sqrt(D) = 31.
- Корни: x = [29 ± 31]/(2·15) => x = (-1/15) и x = 2.
- Так как a>0, знак параболы положительный за пределами промежутка между корнями.
- Решение: x ∈ (-∞, -1/15) ∪ (2, ∞).
Если нужно, могу привести графики парабол и ещё раз проверить на тестовых точках.
Обсуждение
2 сообщениявсе эти примеры реши через дискриминант
Конечно! Давайте решим каждое из неравенств, используя метод дискриминанта:
а) \( 4x^2 + 4x - 3 \geq 0 \)
Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]
Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{2 \cdot 4} \]
\[ x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \]
Определяем интервал:
Парабола \(4x^2 + 4x - 3\) открывается вверх. Она будет положительной вне корней.
- Решение: \( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \).
в) \( 6x^2 - 7x - 20 \leq 0 \)
Находим дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-20) = 49 + 480 = 529 \]
Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 23}{12} \]
\[ x_1 = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \]
Определяем интервал:
Парабола \(6x^2 - 7x - 20\) открывается вверх. Она будет отрицательной на интервале между корнями.
- Решение: \( x \in [-\frac{4}{3}, \frac{5}{2}] \).
б) \( 12x^2 + x - 1 < 0 \)
Находим дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 \]
Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 \pm 7}{24} \]
\[ x_1 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3} \]
Определяем интервал:
Парабола \(12x^2 + x - 1\) открывается вверх. Она отрицательна между корнями.
- Решение: \( x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}) \).
г) \( 15x^2 - 29x - 2 > 0 \)
Находим дискриминант:
\[ D = (-29)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 841 + 120 = 961 \]
Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{29 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 15} = \frac{29 \pm 31}{30} \]
\[ x_1 = \frac{60}{30} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15} \]
Определяем интервал:
Парабола \(15x^2 - 29x - 2\) открывается вверх. Она положительна вне интервала.
- Решение: \( x \in (-\infty, -\frac{1}{15}) \cup (2, +\infty) \).
Если нужны подробности по каждому этапу или дополнительные объяснения, дайте знать!
