сократите дробь 25x^2+10x+1/25x^2-1 и найдите ее значение при x=0.6

Цель: Понять и подробно разобрать решение.

Задача: сократить дробь (25x^2 + 10x + 1) / (25x^2 − 1) и найти её значение при x = 0.6.

1. Разложим числитель и знаменатель:

• числитель: 25x^2 + 10x + 1 = (5x + 1)^2
• знаменатель: 25x^2 − 1 = (5x − 1)(5x + 1)

2. Дробь записывается как (25x^2 + 10x + 1) / (25x^2 − 1) = (5x + 1)^2 / [(5x − 1)(5x + 1)]

При условии, что x не приводит к делению на ноль в исходной дроби, можно сократить общий множитель (5x + 1): = (5x + 1) / (5x − 1), для x ≠ −1/5 и x ≠ ±1/5 (чтобы исходная дробь была определена; фактически нужно исключить x = ±1/5, так как знаменатель нули).

3. Подстановка x = 0.6:

• 5x = 3
• 5x + 1 = 4
• 5x − 1 = 2

Значение дроби: (5x + 1) / (5x − 1) = 4 / 2 = 2.

Проверка через исходную дробь:

• x^2 = 0.36
• числитель: 25·0.36 + 10·0.6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
• знаменатель: 25·0.36 − 1 = 9 − 1 = 8
• значение: 16/8 = 2

Ответ:

• Сокращённая форма: (5x + 1) / (5x − 1) (при x ≠ ±1/5)
• Значение при x = 0.6: 2