На рис. 0.28 угол BAC = 90°, угол 1 = угол 2, угол 3 = угол 4. Докажите, что прямые MN и PQ параллельны.

Решение (для геометрии восьмого класса, цель: понять) Дано: ∠BAC = 90° (то есть AB ⟂ AC). Прямые MN и PQ. Пусть на рисунке AB пересекает MN в точке X и PQ в точке Y. Указано, что угол 1 равен углу 2, и угол 3 равен углу 4. Пусть: - ∠1 — угол между MN и AB (в точке пересечения MN с AB, т. е. на стороне AB), - ∠2 — угол между PQ и AB (в точке пересечения PQ с AB, на той же стороне AB), - ∠3 — угол между MN и AC, - ∠4 — угол между PQ и AC. Шаги рассуждения: 1) По условию ∠1 = ∠2. То есть MN и PQ образуют с прямой AB одинаковые углы. 2) AB ⟂ AC, поэтому углы между MN и AC равны 90° минус углы между MN и AB, а углы между PQ и AC равны 90° минус углы между PQ и AB. Следовательно, из ∠1 = ∠2 следует also что угол между MN и AC равен углу между PQ и AC, то есть ∠3 = ∠4. Эта равенство дано как дополнительное условие, и оно согласуется с первым шагом. 3) Теперь две прямые MN и PQ образуют с одной и той же прямой AB (видимой как общий трансверсал) одинаковые углы. Это значит, что их уклоны к AB совпадают. А поскольку AB и AC образуют прямой угол, равенство углов MN и PQ как к AB, так и к AC однозначно задаёт одинаковый наклон этих двух прямых. СледовательноMN ∥ PQ. Итак, прямые MN и PQ параллельны. Коротко: из того, что углы MN и PQ с AB равны (∠1 = ∠2), и с AC также равны (∠3 = ∠4), следует, что наклон MN совпадает с наклоном PQ, значит MN ∥ PQ. Если хотите, могу привести аналоговое доказательство с координатами (поставим A в начало координат, AB по оси x, AC по оси y) или нарисовать поясняющую схему.