1100

Задача 1100: найти sin α, если дано cos α.

Метод: использовать тождество sin^2 α + cos^2 α = 1. Отсюда sin^2 α = 1 − cos^2 α, а затем sin α = ±√(1 − cos^2 α). Знак зависит от того, в какой четверти лежит α (если не задан диапазон).

a) cos α = 1/2

• sin^2 α = 1 − (1/2)^2 = 1 − 1/4 = 3/4
• sin α = ±√(3/4) = ±√3/2
• Примечание по знаку: в зависимости от квадранта α может быть положительным или отрицательным. В пределах 0≤α<2π: α = π/3 (sin = √3/2) или α = 5π/3 (sin = −√3/2).

b) cos α = −2/3

• sin^2 α = 1 − (−2/3)^2 = 1 − 4/9 = 5/9
• sin α = ±√(5/9) = ±√5/3
• Примечание по знаку: косинус отрицателен в QII и QIII, значит sin положителен в QII и отрицателен в QIII. В диапазоне 0≤α<2π: α ≈ arccos(−2/3) ≈ 131.81° (sin ≈ +√5/3) или α ≈ 228.19° (sin ≈ −√5/3).

c) cos α = −1

• sin^2 α = 1 − (−1)^2 = 0
• sin α = 0
• Это соответствует α = π + 2kπ (для любой целой k).

Итого:

• a) sin α = ±√3/2 (конкретное значение зависит от квадранта α).
• b) sin α = ±√5/3 (конкретное значение зависит от квадранта α).
• c) sin α = 0 (α = π + 2kπ).