Дан треугольник АВС. На сторонах АВ, ВС и СА взяты точки Х, Y и Z соответственно таким образом, что четырёхугольник ХУ CZ является ромбом. Известно, что AZ = 1, а BY = 4. Найдите сторону ромба.

Ответ: 2 Кратко решение: - Пусть CA = a, BC = b, и пусть сторона ромба равна s. Так как XYCZ – ромб, то YC ∥ CZ ∥ CA и XZ ∥ XY ∥ BC. В частности, Y и Z выбраны так, что YC = CZ = s, а Z lies на CA, Y на BC. - Из AZ = 1 и AZ = CA − CZ получаем a − s = 1 ⇒ a = s + 1. - Из BY = 4 и BY = BC − YC получаем b − s = 4 ⇒ b = s + 4. - Введем координаты: C = (0,0), A = (a,0). Пусть B = (b cos γ, b sin γ) и γ = ∠ACB. Тогда Z = (s,0), Y = (s cos γ, s sin γ). Так как XYCZ – ромб, XY ∥ CA, XZ ∥ BC, и X = Z + s( cos γ, sin γ) = (s(1+cos γ), s sin γ). - Пусть AB = линия через A и B. Чтобы X лежал на AB, найдём параметр t на отрезке AB: A + t(B − A) = X. По координатам получаем: - По y: s sin γ = t b sin γ ⇒ t = s/b. - По x: s(1+cos γ) = a + t(b cos γ − a) = a + (s/b)(b cos γ − a) = a + s cos γ − (a s)/b. Отсю hypot cancels cos γ, получаем s = a − (a s)/b, т.е. s(1 + a/b) = a ⇒ s = ab/(a + b). - Подставим a = s + 1 и b = s + 4: s = (s+1)(s+4) / (2s+5). Перепишем: s(2s+5) = s^2 + 5s + 4 ⇒ 2s^2 + 5s = s^2 + 5s + 4 ⇒ s^2 = 4. - Так как s > 0, получаем s = 2. Следовательно, сторона ромба равна 2.