Формулы по геометрии

Отлично. Ниже — базовый набор формул по геометрии для 8 класса с краткими пояснениями и примерами применения. Это поможет как запомнить, так и понять, как вычислять нужные величины. Если пришлешь конкретную задачу, пройдем решение по шагам. 1) Площадь и периметр основных фигур - Прямоугольник - Площадь: S = a · b - Периметр: P = 2(a + b) - Пример: прямоугольник 6 см на 4 см → S = 24 см², P = 20 см - Квадрат - Площадь: S = a² - Периметр: P = 4a - Пример: сторона 5 см → S = 25 см², P = 20 см - Параллелограмм - Площадь: S = base · height (основание и высота — перпендикулярны) - Периметр: P = 2(a + b) - Пример: основание 6 см, высота 4 см → S = 24 см² - Ромб - Площадь: S = (d1 · d2) / 2 (диагонали d1 и d2) - Периметр: P = 4a (где a — сторона ромба) - Пример: диагонали 6 см и 8 см → S = 24 см² - Трапеция - Площадь: S = ((b1 + b2) / 2) · h (b1, b2 — основания; h — высота) - Периметр зависит от сторон; здесь основной интерес — площадь - Пример: основания 7 см и 3 см, высота 4 см → S = (7+3)/2 · 4 = 20 см² - Треугольник - Площадь: S = (1/2) · base · height - Сумма углов: ∑ углов треугольника = 180° - Пифагоровы теоремы (для прямоугольного треугольника): a² + b² = c² - Пример: основание 5 см, высота 4 см → S = 10 см² - Пример по теореме Пифагора: стороны 3 см и 4 см, гипотенуза 5 см - Треугольники через стороны (Герона, если нужно) - Полупериметр p = (a + b + c) / 2 - Площадь: S = sqrt[p(p − a)(p − b)(p − c)] - Пример для сторон 5, 6, 7: p = 9; S = sqrt(9·4·3·2) ≈ 14.70 см² 2) Окружности и сектора - Радиус, диаметр - d = 2r - Длина окружности (окружности) - C = 2πr = πd - Площадь круга - S = πr² - Дуга и сектор - Длина дуги: L = (θ/360) · 2πr (θ — центральный угол в градусах) - Площадь сектора: S_sector = (θ/360) · πr² - В радианах: L = r·θ; S_sector = (1/2) r² θ - Пример: радиус 6 см, сектор на угол 60° - S_sector = (60/360)·π·6² = (1/6)·36π = 6π ≈ 18.85 см² - L = (60/360)·2π·6 = (1/6)·12π = 2π ≈ 6.28 см 3) Объемы и поверхности тел - Прямой prism / параллелепипед (куб и прямоугольный призм) - Объем: V = S_base · h (для прямоугольного параллелепипеда S_base = a·b) - Поверхность: SA = 2(ab + bc + ac) - Куб - Объем: V = a³ - Поверхность: SA = 6a² - Цилиндр - Объем: V = πr²h - Поверхность: SA = 2πr(h + r) (или полная поверхность: боковая 2πrh + боковые крышки 2πr²) - Конус - Объем: V = (1/3)πr²h - Боковая поверхность: S_bок = πrl, где l = √(h² + r²) — образующая - Полная поверхность: S = πr(r + l) - Шар - Объем: V = (4/3)πr³ - Поверхность: SA = 4πr² - Примечание по единицам: все измерения должны быть в одних единицах (например, см и см², см³). 4) Преобразования масштаба и подобие - Если масштабирующий коэффициент k (линейный): - Линейные размеры: умножаются на k - Площадь: S_new = k² · S_old - Объем: V_new = k³ · V_old - Пример: если увеличить всё в треугольнике в 2 раза, площадь увеличится в 4 раза, объём — в 8 раз. 5) Координатная геометрия (для задач на плоскости) - Расстояние между двумя точками A(x1,y1) и B(x2,y2) - d = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²] - Координаты середины отрезка AB - M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) - Формула средней линии (для некоторых трапеций/параллелепипедов) и др. по мере задачи 6) Быстрые советы по применению формул - Определяй, какая фигура дана и какие параметры известны (основание, высота, радиус, диагонали и т.п.). - Для площади сначала ищи перпендикулярную высоту там, где это возможно. - Для круга запомни две базовые формулы: C = 2πr и S = πr². - Для объема запоминай базовую зависимость: V = площадь основания × высота. - Если задача про подобие или масштаб, не забывай про коэффициенты k для линейных размеров, площади и объемов. - Всегда проверяй единицы измерения и строй логическую последовательность в расчетах. 7) Примеры решения по шагам (помогают понять подход) - Пример 1: площадь прямоугольника - Дано: a = 7 см, b = 4 см - Найти: S и P - Решение: S = a·b = 7·4 = 28 см²; P = 2(a+b) = 2(7+4) = 22 см - Пример 2: круг и сектор - Дано: r = 5 см, угол сектора θ = 90° - Найти: S круга, S сектора, L сектора - Решение: S круга = πr² = 25π ≈ 78.54 см² - S_sector = (θ/360)·πr² = (90/360)·25π = (1/4)·25π = 6.25π ≈ 19.63 см² - L = (θ/360)·2πr = (90/360)·10π = (1/4)·10π = 2.5π ≈ 7.85 см - Пример 3: цилиндр - Дано: r = 3 см, h = 5 см - Найти: V и SA - Решение: V = πr²h = π·9·5 = 45π ≈ 141.37 см³ - SA = 2πr(h + r) = 2π·3(5 + 3) = 6π·8 = 48π ≈ 150.80 см² - Пример 4: треугольник через стороны (Герон) - Дано: стороны a=5 см, b=6 см, c=7 см - Найти: S - Решение: p = (a + b + c)/2 = 9; S = sqrt[p(p − a)(p − b)(p − c)] = sqrt[9·4·3·2] = sqrt(216) ≈ 14.70 см² Если хочешь, могу подобрать формулы под конкретную задачу из твоего задания или пройтись по ним шаг за шагом с твоими числами. Просто пришли текст задачи или фото — и я разверну решение поэтапно на понятном 8-м классу языке.