формулы по геометрии
Отлично. Ниже — базовый набор формул по геометрии для 8 класса с краткими пояснениями и примерами применения. Это поможет как запомнить, так и понять, как вычислять нужные величины. Если пришлешь конкретную задачу, пройдем решение по шагам.
- Площадь и периметр основных фигур
Прямоугольник
- Площадь: S = a · b
- Периметр: P = 2(a + b)
- Пример: прямоугольник 6 см на 4 см → S = 24 см², P = 20 см
Квадрат
- Площадь: S = a²
- Периметр: P = 4a
- Пример: сторона 5 см → S = 25 см², P = 20 см
Параллелограмм
- Площадь: S = base · height (основание и высота — перпендикулярны)
- Периметр: P = 2(a + b)
- Пример: основание 6 см, высота 4 см → S = 24 см²
Ромб
- Площадь: S = (d1 · d2) / 2 (диагонали d1 и d2)
- Периметр: P = 4a (где a — сторона ромба)
- Пример: диагонали 6 см и 8 см → S = 24 см²
Трапеция
- Площадь: S = ((b1 + b2) / 2) · h (b1, b2 — основания; h — высота)
- Периметр зависит от сторон; здесь основной интерес — площадь
- Пример: основания 7 см и 3 см, высота 4 см → S = (7+3)/2 · 4 = 20 см²
Треугольник
- Площадь: S = (1/2) · base · height
- Сумма углов: ∑ углов треугольника = 180°
- Пифагоровы теоремы (для прямоугольного треугольника): a² + b² = c²
- Пример: основание 5 см, высота 4 см → S = 10 см²
- Пример по теореме Пифагора: стороны 3 см и 4 см, гипотенуза 5 см
Треугольники через стороны (Герона, если нужно)
- Полупериметр p = (a + b + c) / 2
- Площадь: S = sqrt[p(p − a)(p − b)(p − c)]
- Пример для сторон 5, 6, 7: p = 9; S = sqrt(9·4·3·2) ≈ 14.70 см²
- Окружности и сектора
Радиус, диаметр
- d = 2r
Длина окружности (окружности)
- C = 2πr = πd
Площадь круга
- S = πr²
Дуга и сектор
- Длина дуги: L = (θ/360) · 2πr (θ — центральный угол в градусах)
- Площадь сектора: S_sector = (θ/360) · πr²
- В радианах: L = r·θ; S_sector = (1/2) r² θ
Пример: радиус 6 см, сектор на угол 60°
- S_sector = (60/360)·π·6² = (1/6)·36π = 6π ≈ 18.85 см²
- L = (60/360)·2π·6 = (1/6)·12π = 2π ≈ 6.28 см
- Объемы и поверхности тел
Прямой prism / параллелепипед (куб и прямоугольный призм)
- Объем: V = S_base · h (для прямоугольного параллелепипеда S_base = a·b)
- Поверхность: SA = 2(ab + bc + ac)
Куб
- Объем: V = a³
- Поверхность: SA = 6a²
Цилиндр
- Объем: V = πr²h
- Поверхность: SA = 2πr(h + r) (или полная поверхность: боковая 2πrh + боковые крышки 2πr²)
Конус
- Объем: V = (1/3)πr²h
- Боковая поверхность: S_bок = πrl, где l = √(h² + r²) — образующая
- Полная поверхность: S = πr(r + l)
Шар
- Объем: V = (4/3)πr³
- Поверхность: SA = 4πr²
Примечание по единицам: все измерения должны быть в одних единицах (например, см и см², см³).
- Преобразования масштаба и подобие
Если масштабирующий коэффициент k (линейный):
- Линейные размеры: умножаются на k
- Площадь: S_new = k² · S_old
- Объем: V_new = k³ · V_old
Пример: если увеличить всё в треугольнике в 2 раза, площадь увеличится в 4 раза, объём — в 8 раз.
- Координатная геометрия (для задач на плоскости)
Расстояние между двумя точками A(x1,y1) и B(x2,y2)
- d = √[(x2 − x1)² + (y2 − y1)²]
Координаты середины отрезка AB
- M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
Формула средней линии (для некоторых трапеций/параллелепипедов) и др. по мере задачи
- Быстрые советы по применению формул
- Определяй, какая фигура дана и какие параметры известны (основание, высота, радиус, диагонали и т.п.).
- Для площади сначала ищи перпендикулярную высоту там, где это возможно.
- Для круга запомни две базовые формулы: C = 2πr и S = πr².
- Для объема запоминай базовую зависимость: V = площадь основания × высота.
- Если задача про подобие или масштаб, не забывай про коэффициенты k для линейных размеров, площади и объемов.
- Всегда проверяй единицы измерения и строй логическую последовательность в расчетах.
- Примеры решения по шагам (помогают понять подход)
Пример 1: площадь прямоугольника
- Дано: a = 7 см, b = 4 см
- Найти: S и P
- Решение: S = a·b = 7·4 = 28 см²; P = 2(a+b) = 2(7+4) = 22 см
Пример 2: круг и сектор
- Дано: r = 5 см, угол сектора θ = 90°
- Найти: S круга, S сектора, L сектора
- Решение: S круга = πr² = 25π ≈ 78.54 см²
- S_sector = (θ/360)·πr² = (90/360)·25π = (1/4)·25π = 6.25π ≈ 19.63 см²
- L = (θ/360)·2πr = (90/360)·10π = (1/4)·10π = 2.5π ≈ 7.85 см
Пример 3: цилиндр
- Дано: r = 3 см, h = 5 см
- Найти: V и SA
- Решение: V = πr²h = π·9·5 = 45π ≈ 141.37 см³
- SA = 2πr(h + r) = 2π·3(5 + 3) = 6π·8 = 48π ≈ 150.80 см²
Пример 4: треугольник через стороны (Герон)
- Дано: стороны a=5 см, b=6 см, c=7 см
- Найти: S
- Решение: p = (a + b + c)/2 = 9; S = sqrt[p(p − a)(p − b)(p − c)] = sqrt[9·4·3·2] = sqrt(216) ≈ 14.70 см²
Если хочешь, могу подобрать формулы под конкретную задачу из твоего задания или пройтись по ним шаг за шагом с твоими числами. Просто пришли текст задачи или фото — и я разверну решение поэтапно на понятном 8-м классу языке.
