подпиши количество множителей а³¹*а⁴⁵

Задача: найти число делителей (множителей) числа a^31 · a^45.

Пошаговое решение

1. Упростим выражение a^31 · a^45 = a^(31+45) = a^76.

2. Обобщённое разложение a Пусть a = ∏{i=1}^r p_i^{e_i}, где p_i — различные простые, e_i ≥ 1. Тогда a^76 = ∏{i=1}^r p_i^{76 e_i}.

3. Число делителей n = ∏ p_i^{f_i} Для любого натурального n = ∏ p_i^{f_i} количество положительных делителей равно d(n) = ∏ (f_i + 1).

4. Применяем к a^76 Здесь f_i = 76 e_i. Следовательно, число положительных делителей a^76 равно d(a^76) = ∏_{i=1}^r (76 e_i + 1).

4а) Частные случаи

• Если a простое: a = p, то e_1 = 1, значит d(a^76) = 76·1 + 1 = 77.
• Если a = p^k (кратное простое), то d(a^76) = 76k + 1.
• Если a имеет разложение a = ∏ p_i^{e_i}, то дано общее выражение d(a^76) = ∏ (76 e_i + 1).
• Если a = 1: a^76 = 1, и число делителей равно 1.

5. Примеры

• a = 6 = 2^1 · 3^1: d(a^76) = (76·1 + 1) · (76·1 + 1) = 77 · 77 = 5929.
• a = 12 = 2^2 · 3^1: d(a^76) = (76·2 + 1) · (76·1 + 1) = 153 · 77 = 118... аккуратно: 153 × 77 = 11781.

Итого

• Общее выражение: число положительных делителей a^31·a^45 равно d(a^76) = ∏ (76 e_i + 1), где a = ∏ p_i^{e_i}.
• В случае а простого числа — 77 делителей.
• Если нужно посчитать конкретное число, требуется разложение a на простые и знать кратности e_i.