На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки F и К так, что АК = KD, AF : FB = 2 : 1. Найдите площадь ДСК, если AB = 15, AD = 18, а высота параллелограмма ВН, проведённая к стороне AD, равна 12.

Дано параллелограмм ABCD: - AB = 15, AD = 18, - высота к стороне AD равна BN = 12 (то есть площадь параллелограмма S = AD · BN = 18 · 12 = 216). - На AB взята точка F с AF:FB = 2:1. - AK = KD, значит K — середина AD. - Пусть S — точка пересечения BK и CF (типичное задание: D, S, C образуют нужный треугольник). Задача: найти площадь треугольника DSK. Построение в координатах (выберем удобную систему): - Пусть A = (0, 0), D = (18, 0) (AD лежит вдоль Ox). - Поскольку высота к AD равна 12, а AB = 15, мы можем подобрать вектор AB так, чтобы его вертикальная компонента цикла была 12. Пусть B = (9, 12). Тогда AB имеет длину sqrt(9^2 + 12^2) = 15, и расстояние от B доAD равно 12. - Тогда C = B + D = (27, 12). - Ф точка F на AB с AF:FB = 2:1 = A + (2/3) AB, значит F = (6, 8). - Точка K — середина AD: K = (9, 0). Находим точку S = BK ∩ CF: - Прямая BK: через B(9,12) и K(9,0) — это вертикальная прямая x = 9. - Прямая CF: через C(27,12) и F(6,8). Направляющий вектор CF = C − F = (21, 4). Параметрически CF: F + t(C − F) = (6 + 21t, 8 + 4t). - Чтобы получить пересечение с x = 9, найдём t: 6 + 21t = 9 ⇒ t = 1/7. Тогда S = (9, 8 + 4/7) = (9, 60/7). Теперь найдём площадь треугольника DSK, используя векторы DS и DC: - D = (18, 0), S = (9, 60/7), C = (27, 12). - DS = S − D = (−9, 60/7), DC = C − D = (9, 12). - Площадь ΔDSC = 1/2 |DS_x · DC_y − DS_y · DC_x| = 1/2 |(−9)·12 − (60/7)·9| = 1/2 |−108 − 540/7| = 1/2 · (1296/7) = 648/7. Ответ: площадь треугольника DSK равна 648/7 единиц площади (≈ 92.57). Примечание: отношение площадей удобно проверить через общую площадь параллелограмма: площадь ABCD = 216, а найденная площадь ΔDSC = 648/7 = (3/7) · 216, то есть равна 3/7 площади параллелограмма.