Cosα - isinα, π<α<3/2π . комплексные числа , мат. анализ , решить

Задача: z = cos α − i sin α, при π < α < 3π/2. Найти свойства z и записать в удобной форме. Пошаговое решение 1) Модуль и основные свойства - |z| = sqrt((cos α)^2 + (−sin α)^2) = sqrt(cos^2 α + sin^2 α) = 1. - Значит z лежит на единичной окружности. 2) Экспоненциальная форма (Euler) - cos α − i sin α = cos α + i(−sin α) = cos(−α) + i sin(−α) = e^{i(−α)}. - Таким образом z = e^{−iα}. 3) Приведение угла к главной (принципиальной) форме аргумента - Нормальный аргумент z: θ = Arg z ∈ (−π, π]. - Так как α ∈ (π, 3π/2), то −α ∈ (−3π/2, −π). - Чтобы привести к диапазону (−π, π], добавим 2π: θ = −α + 2π = 2π − α. - Следовательно principal аргумент: θ = 2π − α, и он принадлежит (π/2, π). То есть z находится во второй спряженной четверти. 4) Геометрическая интерпретация - Re z = cos α < 0, Im z = −sin α > 0. z лежит во второй четверти на единичной окружности. - Угол z относительно положительного направления оси равен θ = 2π − α ∈ (π/2, π). 5) Альтернативные записи - z можно записать как z = e^{i(2π − α)} (аналогично z = e^{−iα}). - В алгебраической форме z = x + iy, где x = cos α (отрицательно), y = −sin α (положительно), и x^2 + y^2 = 1. Итого - Модуль z равен 1. - z = e^{−iα} = e^{i(2π − α)}. - Принципиальный аргумент Arg z = 2π − α ∈ (π/2, π) (то есть z в II-числе). - Реальная часть z равна cos α (отрицательная), мнимая часть равна −sin α (положительная).