cosα - isinα, π<α<3/2π . комплексные числа , мат. анализ , решить

Задача: z = cos α − i sin α, при π < α < 3π/2. Найти свойства z и записать в удобной форме.

Пошаговое решение

1. Модуль и основные свойства

• |z| = sqrt((cos α)^2 + (−sin α)^2) = sqrt(cos^2 α + sin^2 α) = 1.
• Значит z лежит на единичной окружности.

2. Экспоненциальная форма (Euler)

• cos α − i sin α = cos α + i(−sin α) = cos(−α) + i sin(−α) = e^{i(−α)}.
• Таким образом z = e^{−iα}.

3. Приведение угла к главной (принципиальной) форме аргумента

• Нормальный аргумент z: θ = Arg z ∈ (−π, π].
• Так как α ∈ (π, 3π/2), то −α ∈ (−3π/2, −π).
• Чтобы привести к диапазону (−π, π], добавим 2π: θ = −α + 2π = 2π − α.
• Следовательно principal аргумент: θ = 2π − α, и он принадлежит (π/2, π). То есть z находится во второй спряженной четверти.

4. Геометрическая интерпретация

• Re z = cos α < 0, Im z = −sin α > 0. z лежит во второй четверти на единичной окружности.
• Угол z относительно положительного направления оси равен θ = 2π − α ∈ (π/2, π).

5. Альтернативные записи

• z можно записать как z = e^{i(2π − α)} (аналогично z = e^{−iα}).
• В алгебраической форме z = x + iy, где x = cos α (отрицательно), y = −sin α (положительно), и x^2 + y^2 = 1.

Итого

• Модуль z равен 1.
• z = e^{−iα} = e^{i(2π − α)}.
• Принципиальный аргумент Arg z = 2π − α ∈ (π/2, π) (то есть z в II-числе).
• Реальная часть z равна cos α (отрицательная), мнимая часть равна −sin α (положительная).