докажите что средняя скорость автобуса движущегося из пункта А в пункт В со скоростью V¹,а из В V²,меньше либо равна (V¹+V²)/2
Цель задачи: показать, что средняя скорость за полный путь A↔B (сначала A→B со скоростью V1, затем B→A со скоростью V2) не larger чем (V1 + V2)/2.
Условия (ясно из формулировки): расстояние между пунктами A и B одинаково в обе стороны, скорости V1 и V2 положительны.
Пусть AB = d > 0. Тогда:
- Время движения A→B: t1 = d / V1.
- Время движения B→A: t2 = d / V2.
- Общее время на круг: T = t1 + t2 = d(1/V1 + 1/V2) = d (V1 + V2) / (V1 V2).
- Пройденный за круг путь: S = 2d.
- Средняя скорость за весь путь: Vср = S / T = 2d / [d (V1 + V2) / (V1 V2)] = 2 V1 V2 / (V1 + V2).
Нужно доказать, что Vср ≤ (V1 + V2)/2. 6) Сравнение: 2 V1 V2 / (V1 + V2) ≤ (V1 + V2) / 2. 7) Умножим обе стороны на положительный множитель (V1 + V2): 4 V1 V2 ≤ (V1 + V2)^2. 8) Распишем правую часть: (V1 + V2)^2 = V1^2 + 2 V1 V2 + V2^2. Тогда неравенство становится: 0 ≤ V1^2 - 2 V1 V2 + V2^2 = (V1 - V2)^2, что очевидно истинно для любых реальных V1, V2 и даёт равенство только при V1 = V2.
Вывод: Средняя скорость за полный круг A→B→A равна гармонической среднему двух скоростей: Vср = 2 V1 V2 / (V1 + V2), и она никогда не превышает арифметическую среднюю (V1 + V2)/2; равенство происходит только тогда, когда V1 = V2.
