докажи что средняя скорость автобуса движущегося из пункта А в пункт В со скоростью v¹,a из пункта В v²,меньше либо равна (v¹+v²)/2

Решение

• Пусть расстояние между пунктами A и B равно S > 0.
• Скорость на первом участке (A → B) равна v1, на обратном участке (B → A) — v2.
• Время движения по первому участку: t1 = S / v1. По второму: t2 = S / v2.
• Общее пройденное расстояние за всю поездку: D = S + S = 2S.
• Общее время: T = t1 + t2 = S(1/v1 + 1/v2).
• Средняя скорость за всю поездку: V = D / T = 2S / [S(1/v1 + 1/v2)] = 2 / (1/v1 + 1/v2) = (2 v1 v2) / (v1 + v2).

Неравенство, которое нужно доказать: V ≤ (v1 + v2) / 2.

Докажем его: сравним (2 v1 v2) / (v1 + v2) ≤ (v1 + v2) / 2. Умножим обе стороны на (v1 + v2) и на 2 (они положительны, так как скорости положительные): 4 v1 v2 ≤ (v1 + v2)^2. Раскрывая правую часть: (v1 + v2)^2 = v1^2 + 2 v1 v2 + v2^2, следовательно (v1 + v2)^2 − 4 v1 v2 = (v1 − v2)^2 ≥ 0.

Значит, неравенство верно. Равенство достигается при v1 = v2.

Вывод: средняя скорость за полный путь A→B→A равна гармонической средней скоростей v1 и v2, и она не превосходит арифметическую среднюю (v1+v2)/2, причем равенство возможно только при равных скоростях.