Локажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой

Задача: показать, что в выпуклом четырёхугольнике, если не все углы равны друг другу, то хотя бы один угол тупой.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике углы обозначим A, B, C, D (в градусах). Известно:

• В выпуклом четырёхугольнике сумма внутренних углов равна 360: A + B + C + D = 360.
• Каждый угол выпуклого четырёхугольника меньше 180, но это не критично для доказательства ниже.

Доказательство по contra­движению (от противного):

1. Предположим, что никаких тупых углов нет, то есть все углы не больше 90: A ≤ 90, B ≤ 90, C ≤ 90, D ≤ 90.

2. По предположению о «не все равны друг другу» как минимум один угол отличается от остальных. В случае с условием A ≤ 90 это означает: хотя бы один угол строго меньше 90 (иначе бы все углы были 90 и тем самым равны друг другу).

3. Тогда сумма A + B + C + D будет строго меньше 360, потому что по максимуму три угла могут быть 90, а четвертый строго меньше 90, т.е. максимум меньше 3·90 + 90 = 360, но фактически меньше 360.

4. Однако по факту сумма углов квадрилетала равна 360. Получаем противоречие.

Из противоречия следует, что наше предположение неверно. Значит не может быть так, чтобы ни один угол не был тупым. Следовательно, хотя бы один угол является тупым (больше 90°).

Итого: если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то в нём обязательно найдётся хотя бы один тупой угол.