(2x²+2x ×корень из2 +1)×(7x+10)÷(3x² +2x×корень из 3+1)>=0

Задача: (2x^2 + 2x·√2 + 1)·(7x + 10) ÷ (3x^2 + 2x·√3 + 1) ≥ 0

1. Приведем выражение к удобной форме

• Заметим, что 2x^2 + 2x√2 + 1 = (√2 x + 1)^2, т.к. (√2 x + 1)^2 = 2x^2 + 2√2 x + 1.
• Аналогично 3x^2 + 2x√3 + 1 = (√3 x + 1)^2.

Тогда задача эквивалентна: [(√2 x + 1)^2 · (7x + 10)] / (√3 x + 1)^2 ≥ 0, при условии, что знаменатель не равен нулю: x ≠ -1/√3.

2. Анализ знака

• (√2 x + 1)^2 ≥ 0 и (√3 x + 1)^2 ≥ 0 для всех x, и обе дроби являются нулями только в отдельных точках: первый множитель равен нулю при x = -1/√2, второй – при x = -1/√3.

• Для x ≠ -1/√2 и x ≠ -1/√3 имеем: выражение = [(√2 x + 1)^2 / (√3 x + 1)^2] · (7x + 10). Первое делимое неотрицательное и строго положительное, а деление квадратов даёт положительное число. Таким образом знак выражения совпадает со знаком (7x + 10).

• Знак меняется только там, где 7x + 10 меняет знак, т.е. при x = -10/7. Само по себе (√2 x + 1)^2 и (√3 x + 1)^2 не меняют знак, они только дают нули/деление на ноль.

3. Решение неравенства

• Неравенство ≥ 0 выполняется тогда, когда 7x + 10 ≥ 0, за исключением учёта домена (запрета на x = -1/√3).
• 7x + 10 ≥ 0 дает x ≥ -10/7.
• Единственный дефект домена: x ≠ -1/√3 (здесь знаменатель равен нулю).
• Значение x = -1/√2 даёт нулевое значение выражения (так как (√2 x + 1)^2 = 0), и это тоже допустимо, если оно не противоречит домену (оно не противоречит, так как при x = -1/√2 знаменатель не нулевой).

4. Итог Решение: x ∈ [ -10/7, ∞ ) за исключением точки x = -1/√3. То есть в виде интервалов: [-10/7, ∞) \ {-1/√3}.

Проверка на примерах:

• x = 0: ((0+1)^2 · 10) / (1^2) = 10 > 0, подходит.
• x = -2 (меньше -10/7): приблизительно (√2(-2)+1)^2(7(-2)+10) / (√3(-2)+1)^2 ≈ положительно × (-4) / положительно → отрицательно, не подходит.
• x = -1/√3 ≈ -0.577: выражение не определено (деление на ноль), исключаем.

Если нужно, могу привести ещё peter-подробный разбор по точкам-разделителям и сделать рисунок знакоперемены на числовой оси.