Треугольник АВС –прямоугольный, В=90°, угол А=30° BD-высота. , CD=7 см. Найдите длину отрезка АD.

Решение задачи

Дано: треугольник ABC прямоугольный в точке B (B = 90°), угол A = 30°. BD — высота на гипотенузу AC, D лежит на AC. CD = 7 см. Найти AD.

1. Определим угол C. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, значит C = 180° − 90° − 30° = 60°.
2. Соотношение сторон в 30–60–90 треугольнике: стороны пропорциональны BC : AB : AC = 1 : √3 : 2. Обозначим BC = x, тогда AB = x√3, AC = 2x.
3. Связь в высоте, проведенной к гипотенузе: BC^2 = CD · AC. Это следует из свойства проекций на гипотенузу: каждая катетка в квадрате равна произведению соответствующей проекции на гипотенузу и всей гипотенузы.
4. Подставим выражения: BC^2 = CD · AC → x^2 = 7 · (2x). Разделим на x (x > 0): x = 14. Значит BC = 14 см.
5. Найдём AC: AC = 2x = 28 см.
6. Найдём AD: AD = AC − CD = 28 − 7 = 21 см.

Ответ: AD = 21 см. Дополнительно можно проверить через AB^2 = AD·AC: AB = x√3 = 14√3, AB^2 = 588, AD·AC = 21·28 = 588, проверка верна. Также BD^2 = AD·CD = 21·7 = 147 → BD = 7√3.