Кратко задача: на расстоянии 9 км инженер держит одну скорость v, медик до 3 км ехал со скоростью v_m, потом скорость медика увеличилась в 2 раза. Оба финишируют одновременно. Найти, на сколько метров медик отставал после того, как инженер проехал половину пути (4.5 км).
Пошаговое решение
- Обозначим скорости
- Инженер: v (постоянная).
- Медик до 3 км: v_m.
- Медик после 3 км: 2 v_m.
- Найдем отношение скоростей медика к инженеру
Время, за которое инженер проезжает 9 км: T = 9 / v.
Время, за которое инженер проезжает 3 км: t1 = 3 / v.
За это же время медик проезжает d1 = v_m * t1 = (3 v_m) / v.
После t1 медику становится ясно, что он отстает, и он переходит на скорость 2 v_m. Общий закон времени для медика:
t1 + t2 = T, где t2 — время второй части пути медика.
second part расстояния для медика: 9 - d1, скорость: 2 v_m, значит t2 = (9 - d1) / (2 v_m).
Подставим d1 и T:
3 / v + (9 - 3 v_m / v) / (2 v_m) = 9 / v.
Пусть r = v_m / v. Тогда получаем:
3 + (9 - 3r) / (2r) = 9
(9 - 3r) / (2r) = 6
9 - 3r = 12r
9 = 15r
r = 3/5 = 0.6.
Так что v_m = 0.6 v, а после перехода скорость медика: 2 v_m = 1.2 v.
- Найдем положение медика через 4.5 км инженерной дороги
Когда инженер прошел половину пути, время равно t = 4.5 / v. Это больше t1 = 3 / v, значит к этому моменту медик уже вторая часть пути.
- Первая часть медику дала d1 = v_m * t1 = (0.6 v) * (3 / v) = 1.8 км.
- Вторая часть длится t2' = t - t1 = (4.5 / v) - (3 / v) = 1.5 / v.
За вторую часть медик проезжает расстояние: d2 = (2 v_m) * t2' = (1.2 v) * (1.5 / v) = 1.8 км.
Итого за время, когда инженер прошел 4.5 км, медик прошел 3.6 км.
- Разница через момент, когда инженер достиг 4.5 км
Разница в пути: 4.5 км − 3.6 км = 0.9 км = 900 метров.
Ответ: медик отставал от инженера на 900 метров.
