|x+1|+|x-2|=8
Задача: |x+1| + |x-2| = 8
Пошаговое решение:
- Определяем точки разрыва внутри модулей: x = -1 и x = 2. Разобьём область на три части:
- Case 1: x < -1
- Case 2: -1 ≤ x ≤ 2
- Case 3: x > 2
- Решения по каждому случае
Case 1 (x < -1): x+1 < 0 и x-2 < 0, поэтому |x+1| = -(x+1) = -x-1, |x-2| = -(x-2) = -x+2. Сумма: (-x-1) + (-x+2) = -2x + 1. Уравнение: -2x + 1 = 8 → -2x = 7 → x = -7/2. Проверка: x = -3.5 удовлетворяет условию x < -1. Это решение.
Case 2 (-1 ≤ x ≤ 2): x+1 ≥ 0 и x-2 ≤ 0, поэтому |x+1| = x+1, |x-2| = -(x-2) = -x+2. Сумма: (x+1) + (-x+2) = 3. Уравнение: 3 = 8 — невозможно. Здесь решений нет.
Case 3 (x > 2): x+1 > 0 и x-2 > 0, поэтому |x+1| = x+1, |x-2| = x-2. Сумма: (x+1) + (x-2) = 2x - 1. Уравнение: 2x - 1 = 8 → 2x = 9 → x = 9/2. Проверка: x = 4.5 удовлетворяет условию x > 2. Это решение.
- Итог Р=eшения уравнения: x = -7/2 и x = 9/2.
Проверка примерами:
- x = -7/2: |(-7/2)+1| + |(-7/2)-2| = |-5/2| + |-11/2| = 5/2 + 11/2 = 8.
- x = 9/2: |(9/2)+1| + |(9/2)-2| = |11/2| + |5/2| = 11/2 + 5/2 = 8.
Если хочется альтернатива, можно рассмотреть геометрически: сумма расстояний от x до точек -1 и 2 равна 8; решение получается на пересечении с прямой. Но метод разбиения на случаи по модулю является самым прямым здесь.
