Найдите угол между большей стороной и диагональю прямоугольника, если он: 1) на 90° меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны 2) на 40° меньше угла между…

Задача про прямоугольник: обозначим стороны as длины a (большая сторона) и b (меньшая сторона), где a > b. Угол между большой стороной и диагональю назовём α. Угол между диагоналями (строго между двумя диагоналями) назовём φ (острый угол).

Ключевой факт: диагонали прямоугольника пересекаются под углом φ, где φ = 2α. Это следует из того, что диагонали имеют наклоны m1 = b/a и m2 = −b/a, и tan φ = |(m2 − m1)/(1 + m1 m2)| = 2ab/(a^2 − b^2) = tan(2α).

Теперь решим каждую часть.

1. α на 90° меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны.

• Угол между диагоналями против большей стороны на самом деле равен obtuse-углу 180° − φ (поскольку против большей стороны находится противоположная сторона, и соответствующий угол диагоналей там obtuse).
• По условию: α = (180° − φ) − 90° = 90° − φ.
• Так как φ = 2α, получаем α = 90° − 2α → 3α = 90° → α = 30°.

Ответ: 30°.

2. α на 40° меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны.

• Угол между диагоналями против меньшей стороны, судя по геометрии, равен φ (это acute-угол между диагоналями).
• По условию: α = φ − 40°.
• С учётом φ = 2α имеем α = 2α − 40° → α = 40°.

Ответ: 40°.

Итого:

• 1. угол между большей стороной и диагональю равен 30°.
• 2. угол между большей стороной и диагональю равен 40°.