Задача: преобразовать данные десятичные дроби с повторяющейся частью в дроби.
Важно: 1,0(5) означает число 1.0 с повторяющейся частью 5, т.е. 1.05555...; а 1,0(05) — 1.0050505...
1) 1,0(5)
- Обозначим x = 1,0(5) = 1.05555...
- Здесь непериодическая часть после запятой длиной n = 1 (это цифра 0), а период повторения длиной r = 1 (цифра 5).
- Умножаем, чтобы «сместить» непериодическую часть:
- 10x = 10,5555...
- 100x = 105,5555...
- Вычитаем: 100x − 10x = 95 − 0 = 95; слева 90x.
- Получаем: 90x = 95 → x = 95/90 = 19/18.
Ответ: 1,0(5) = 19/18 = 1,0555...
2) 1,0(05)
- Обозначим x = 1,0(05) = 1.0050505...
- Здесь непериодическая часть после запятой длиной n = 1 (цифра 0), период повторения длиной r = 2 (цифры 05).
- Умножаем, чтобы «сместить» непериодическую часть и весь период:
- 10x = 10,050505...
- 1000x = 1005,050505...
- Вычитаем: 1000x − 10x = 990x; справа 1005,050505... − 10,050505... = 995.
- Получаем: 990x = 995 → x = 995/990 = 199/198.
Ответ: 1,0(05) = 199/198 ≈ 1,0050505...
Проверка (корректность):
- 19/18 = 1 + 1/18 = 1.0555... да, совпадает с 1,0(5).
- 199/198 ≈ 1.0050505... да, совпадает с 1,0(05).
Итого:
- 1,0(5) = 19/18 (≈ 1,0555…)
- 1,0(05) = 199/198 (≈ 1,0050505…)
