Геометрия · 8 класс Задача №3358711
А
А
найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см
Решение (пошагово, для восьмого класса).
- Обозначим стороны параллелограмма:
- AB = a
- AD = b При этом BC ∥ AD и CD ∥ AB, и |BC| = |AD| = b, |CD| = |AB| = a.
- Рассмотрим, через какую сторону биссектриса одного из углов A пересекает параллелограмм.
- Если a ≤ b, биссектриса от A пересекает сторону BC.
- Если a ≥ b, биссектриса от A пересекает сторону CD.
В любом случае два разбиваемых отрезка суммарно равны длине той стороны, в которую делит биссектриса:
- При пересечении BC: на BC получается отрезок BP длиной a и отрезок PC длиной b − a. Итого BP = a, PC = b − a.
- При пересечении CD: на CD получается отрезок DP длиной b и отрезок PC длиной a − b. Итого DP = b, PC = a − b.
- Дано разбиение стороны на отрезки 7 см и 14 см. Их сумма равна:
- 7 + 14 = 21 см.
Рассмотрим возможные случаи:
- Если биссектриса пересекает BC, то: BP = a = 7, PC = b − a = 14. Значит a = 7, b − 7 = 14 → b = 21.
- Если биссектриса пересекает CD, то: DP = b и PC = a − b равны 7 и 14. Сумма a = b + (a − b) = 21 → a = 21, b = 7 (это тоже возможно). В обоих случаях a + b = 28.
- Периметр параллелограмма P = 2(a + b). Из двух вариантов получаем:
- a + b = 28, поэтому P = 2 · 28 = 56 см.
Ответ: периметр параллелограмма равен 56 см.
