найти tg a если cos a = -√3/2

Цель: понять и получить полный ответ.

Решение:

• Дано cos a = -√3/2.

• Найдём sin a с помощью синус-косинусного тождества: sin^2 a = 1 − cos^2 a = 1 − (3/4) = 1/4. Значение |sin a| = 1/2.

• Косинус отрицателен, значит a лежит в II или III квадранте. В II квадранте sin положителен, в III — отрицателен. Поэтому есть два варианта:

  • sin a = +1/2 (QII)
  • sin a = −1/2 (QIII)

• Найдём tg a = sin a / cos a:

  • Если sin a = +1/2: tan a = (1/2) / (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3
  • Если sin a = −1/2: tan a = (−1/2) / (−√3/2) = +1/√3 = √3/3

Ответ:

• Тангенс может принимать два значения: tan a ∈ { −√3/3, √3/3 }.

Общие решения для a:

• В рад. мерах: a = 5π/6 + 2πk или a = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
• В градусах: a = 150° + 360°k или a = 210° + 360°k, где k ∈ Z.

Проверка примерами:

• a = 5π/6: cos a = −√3/2, sin a = 1/2, tan a = −√3/3.
• a = 7π/6: cos a = −√3/2, sin a = −1/2, tan a = √3/3.