Найдите наибольшее и наименьшее значение y=3x2 -6x+5 на отрезке [-1;4]

Задача: найти наибольшее и наименьшее значение y = 3x^2 - 6x + 5 на отрезке [-1; 4].

Шаг 1. Приведём выражение к форме, удобной для анализа квадратичной функции.

• y = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5
• Дополним квадрат: x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
• Получаем y = 3[(x - 1)^2 - 1] + 5 = 3(x - 1)^2 + 2

Значит, y = 3(x - 1)^2 + 2.

Шаг 2. Найдём вершину параболы и её значение.

• Парабола открывается вверх (коэффициент при x^2 = 3 > 0), значит минимальное значение достигается в вершине.
• Вершина координаты x0 = 1 (из выражения (x - 1)^2).
• Значение в вершине: y_min = 3(0)^2 + 2 = 2.
• x0 = 1 лежит в отрезке [-1; 4], значит минимальное значение на отрезке равно 2, достигается при x = 1.

Шаг 3. Найдём максимальное значение на отрезке.

• Так как парабола возрастает обе стороны от вершины на данном отрезке, максимум достигается на одном из концов отрезка.
• Посчитаем на концах:
  • y(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 3 + 6 + 5 = 14
  • y(4) = 3(4)^2 - 6(4) + 5 = 48 - 24 + 5 = 29
• Среди них большее значение — 29, при x = 4.

Ответ:

• Наименьшее значение: y_min = 2 при x = 1.
• Наибольшее значение: y_max = 29 при x = 4.