Райдите площадь прямоугольной трапеции описанной около окружности если сторона ab точкой е пересечения с окружностью делится на отрезки 4 и 9

Задача: найти площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, если сторона AB разрезана точкой E пересечения с окружностью на отрезки AE = 4 и EB = 9. Пусть AB — нижняя база, CD — верхняя база, AD — левый бок, BC — правый бок. Окружность касается всех четырёх сторон (инкруг трапеции). Ход решения 1) Радиус и координаты из данных на угол A - В прямоугольной трапеции угол A образован сторонами AB и AD. Для окружности, касающейся двух взаимно перпендикулярных линий AB и AD, расстояния от вершины A до точок касания на AB и на AD равны радиусу r окружности. По условию AE = 4, значит AF = 4 и радиус r = 4. - Разместим A в начале координат: A(0,0), AB по оси x вправо, AD по оси y вверх. Тогда точка касания на AB имеет координаты E(4,0), центр окружности I имеет координаты I(4,4), радиус r = 4. 2) Уровень верхней базы CD и высота трапеции - Верхняя база CD касательно окружности должна быть горизонтальной (параллельна AB) и проходить на высоте, равной y = центр_y + r = 4 + 4 = 8. Следовательно, CD лежит на уровне y = 8. - Таким образом высота трапеции h = расстояние между AB и CD равно 8. 3) Нахождение стыка BC с окружностью - Точка B: так как AB = AE + EB = 4 + 9, то B = (13, 0). - Линия BC — касательная к окружности и проходящая через B. Пусть её наклон m. Тогда BC имеет вид y = m(x − 13). - Расстояние от центра окружности I(4,4) до этой прямой должно быть равно радиусу 4: Расстояние = |m·4 − 4 − 13m| / √(m^2 + 1) = |−9m − 4| / √(m^2 + 1) = 4. Отсюда (после возведения в квадрат) получаем уравнение 65m^2 + 72m = 0, отсеивая мимоходный корень m = 0, получаем m = −72/65. - Пересечение BC с верхней горизонтальной линией y = 8 даёт координату C: 8 = m(x − 13) ⇒ x − 13 = 8/m = 8 / (−72/65) = −65/9 ⇒ x = 13 − 65/9 = 52/9. Значит C = (52/9, 8). Длина верхней базы CD равна CD = x_C − x_D. Так как D лежит на оси x у x = 0 и на уровне y = 8, то D = (0, 8). Следовательно CD = 52/9. 4) Площадь трапеции - Площадь трапеции: S = h · (AB + CD) / 2 = 8 · (13 + 52/9) / 2. - Объединяем дроби: 13 = 117/9, поэтому (AB + CD) = (117 + 52)/9 = 169/9. - Следовательно S = 8 · (169/9) / 2 = 8 · 169 / 18 = 676/9. Ответ: площадь трапеции равна 676/9 квадратных единиц (приблизительно 75.11).