На окружности по разные стороны от диаметра AB отмечены точки D и C. Известно, что ∠DBA =73∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение

• Обозначение: на окружности AB — диаметр. Точки D и C лежат с разных сторон от AB (D на одной полупространи и C на другой). Известно ∠DBA = 73°.

• Шаг 1. Найдём дугу AD, противолежащую вершине B. По теореме о вписанном угле ∠DBA = ½ дуга(AD, не содержащая B). Следовательно дуга AD = 2 · 73° = 146°.

• Шаг 2. Введём координатную схему упрощения. Пусть точка A находится на угле 180°, точка B — на угле 0°. Точка D на верхней полуплоскости имеет угол θ. Длина дуги AD по верхней дуге равна 180° − θ. По шагу 1: 180° − θ = 146° → θ = 34°. Значит D находится на окружности под углом 34° от положительного направления оси Ox.

• Шаг 3. Найдём угол ∠DCB. Он равен половине меры дуги DB, которая не содержит точку C. Так как C лежит на противоположной стороне AB, не содержащая C дуга DB — это малая дуга от B (0°) до D (34°), длина которой равна 34°.

• Шаг 4. Ответ ∠DCB = ½ · 34° = 17°.

Ответ: 17°.