sin2x=cos3x

Задача: sin(2x) = cos(3x)

Стратегия: заменим косинус через синус и решим уравнение на равенство синусов.

1. Преобразование cos(3x) = sin(π/2 − 3x) Тогда получаем sin(2x) = sin(π/2 − 3x)

2. Решение уравнения sin A = sin B Для любых чисел A и B верно: A = B + 2kπ или A = π − B + 2kπ, где k — любое целое число.

Обозначим A = 2x, B = π/2 − 3x.

• Первый случай: 2x = (π/2 − 3x) + 2kπ 5x = π/2 + 2kπ x = π/10 + (2kπ)/5

• Второй случай: 2x = π − (π/2 − 3x) + 2kπ 2x = π/2 + 3x + 2kπ −x = π/2 + 2kπ x = −π/2 − 2kπ Это эквивалентно x = 3π/2 + 2kπ (так как −π/2 ≡ 3π/2 по модулю 2π)

3. Ответ в виде объединения решений x = π/10 + (2π/5)k, где k ∈ Z или x = 3π/2 + 2πk, где k ∈ Z

Альтернатива: в градусах

• x = 18° + 72°k, k ∈ Z
• x = 270° + 360°k, k ∈ Z

Пояснение: первая ветвь дает периодическое семейство с шагом 72°, вторая ветвь — отдельная строка каждые 360°.