Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающик данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все…

Дано: две прямые l1 и l2 пересекаются в точке M. Рассмотрим прямые, которые не проходят через M и пересекают обе данные прямые (то есть пересекают l1 и пересекают l2).

1. Плоскость, содержащая две пересекающиеся прямые Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость за P. В ней лежат и l1, и l2, и их общая точка M.

2. Любая прямая, пересекающая обе данные прямые Пусть t — прямая, не проходящая через M, и такая что t пересекает l1 в точке A и пересекает l2 в точке B. Тогда A ∈ l1 ⊂ P и B ∈ l2 ⊂ P, значит A и B лежат в одной плоскости P.

Прямая t определяется двумя точками A и B, и обе эти точки принадлежат P. Следовательно прямая AB = t также лежит в плоскости P. То есть любая такая прямая t находится в одной и той же плоскости P.

Итак, все прямые, не проходящие через M и пересекающие обе заданные прямые, лежат в одной плоскости — в плоскости P, содержащей l1 и l2.

3. Лежат ли все прямые, проходящие через точку M, в одной плоскости? Нет. Через точку M проходит бесконечное множество прямых в разных направлениях, и не существует одной плоскости, которая бы содержала все эти прямые. Приведём контрпример: возьмём точку M = O и три направлений вдоль осей координат — прямые Ox, Oy и Oz, все проходящие через O. Любая плоскость через O может содержать максимум две из этих прямых (например, xy-плоскость содержит Ox и Oy, но не Oz). Следовательно, эти три прямые не лежат в одной плоскости.

Кратко:

• Любые две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость P. Любая прямая, пересекающая обе эти прямые (и не проходящая через M) проходит через две точки в P, поэтому она лежит в P.
• Прямые, проходящие через одну и ту же точку M, не обязаны лежать в одной плоскости; существует бесконечное множество направлений через M, и можно выбрать три, не помещающиеся в одной плоскости.