5x³+75x=0

Задача: 5x^3 + 75x = 0

Пошаговое решение (для алгебры 8 класса, цель — понять):

1. Найдем общий множитель

• В выражении 5x^3 + 75x можно вынести общий множитель 5x: 5x^3 + 75x = 5x(x^2 + 15)

2. Применим свойство нулевого произведения

• Произведение равно нулю, значит каждый множитель может быть равен нулю: 5x = 0 или x^2 + 15 = 0

3. Решим каждое уравнение

• 5x = 0 ⇒ x = 0
• x^2 + 15 = 0 ⇒ x^2 = -15

4. Рассмотрим область действительных чисел (типично для 8 класса)

• Уравнение x^2 = -15 не имеет действительных корней (квадрат любого действительного числа не отрицателен).
• Значит, в действительных числах единственное решение: x = 0.

5. Альтернатива для полного решения (расширение в комплексных числах)

• Если разрешать комплексные корни, то x^2 = -15 ⇒ x = i√15 или x = -i√15.
• Полное множество корней: {0, i√15, -i√15}.

6. Проверка

• подставим x = 0: 5·0^3 + 75·0 = 0 — верно.

Ответ (для действительных чисел): x = 0. Дополнительно (для полного решения): в комплексной области x ∈ {0, i√15, -i√15}.