7x+12y=50

Задача: 7x + 12y = 50 Это линейное уравнение в двух переменных. Множество всех решений образует пряму на координатной плоскости. Ниже я дам подробное решение и пояснения. 1) Общий вид решений для вещественных x и y - Выразим одну переменную через другую: - y = (50 − 7x)/12 - or x = (50 − 12y)/7 - Значит для любых вещественных x можно найти y по формуле выше, и наоборот. Примеры точек на прямой: - если x = 0, то y = 50/12 = 25/6 ≈ 4.1667 - если y = 0, то x = 50/7 ≈ 7.1429 2) Геометрическое понимание - Уравнение задаёт прямую на плоскости. Ее наклон равен коэффициенту перед x в уравнении, если привести к виду y = mx + b. - В нашем случае y = −(7/12)x + 50/12, поэтому наклон −7/12 и y-перехват 50/12. 3) Решения в целых числах (диофантово) Если требуется целочисленное решение, найдём общий вид целочисленных пар (x, y). - Рассмотрим уравнение по модулю по 12: 7x ≡ 50 (mod 12) → 7x ≡ 2 (mod 12) - Обратный элемент к 7 по модулю 12 есть: 7·7 = 49 ≡ 1 (mod 12), значит обратный к 7 — это 7. Поэтому x ≡ 7·2 ≡ 14 ≡ 2 (mod 12). - Запишем x как x = 2 + 12t, где t — целое число. - Подставим в уравнение: 7(2 + 12t) + 12y = 50 14 + 84t + 12y = 50 12y = 36 − 84t y = 3 − 7t - Следовательно, общий вид целочисленных решений: x = 2 + 12t, y = 3 − 7t, для t ∈ Z. - Примеры целочисленных решений: - t = 0: (x, y) = (2, 3) - t = 1: (x, y) = (14, −4) - t = −1: (x, y) = (−10, 10) 4) Необходимы ли неотрицательные целые решения? - Чтобы x ≥ 0: 2 + 12t ≥ 0 → t ≥ −1/6 → t ≥ 0 (целые). - Чтобы y ≥ 0: 3 − 7t ≥ 0 → t ≤ 3/7 → t ≤ 0 (целые). - Единственный целочисленный случай с неотрицательными x и y: t = 0 → (2, 3). 5) Интересные параметры - x-перехват: при y = 0 получаем x = 50/7 ≈ 7.1429 → точка (50/7, 0). - y-перехват: при x = 0 получаем y = 50/12 = 25/6 ≈ 4.1667 → точка (0, 25/6). - Наклон прямой: −7/12. Итого: - Для любых вещественных x получаем y по y = (50 − 7x)/12. - Целочисленные решения записываются как (x, y) = (2 + 12t, 3 − 7t), t ∈ Z. - Среди неотрицательных целочисленных решений единственная пара: (2, 3).