Задача: диагонали параллелограмма 8 см и 6 см, угол между диагоналями 60°. Найти стороны параллелограмма.
Обозначения:
- Пусть стороны параллелограмма имеют длины a и b, угол между соседними сторонами равен α.
- Диагонали: d1 и d2. Пути d1 = длина диагонали, d2 = длина другой диагонали.
- Векторно: если стороны векторы a_vec и b_vec, то д diagonали равны d1 = a_vec + b_vec и d2 = a_vec − b_vec.
Шаг 1. Связь диагоналей с сторонами
d1^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos α = 64
d2^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos α = 36
Шаг 2. Угол между диагоналями
Угол между диагоналями θ = 60°. Косинус угла между d1 и d2:
cos θ = (d1 · d2) / (|d1||d2|) = (a^2 − b^2) / (d1 d2)
Здесь d1 = 8, d2 = 6, поэтому:
(a^2 − b^2) / (8·6) = cos 60° = 1/2
Откуда
a^2 − b^2 = 24.
Шаг 3. Решение системы для a^2 и b^2
Из суммирования первых двух уравнений:
( a^2 + b^2 ) = (64 + 36) / 2 = 50.
Из предыдущего пункта:
a^2 − b^2 = 24.
Решаем:
2a^2 = 50 + 24 = 74 → a^2 = 37
2b^2 = 50 − 24 = 26 → b^2 = 13
Следовательно:
a = sqrt(37) см, b = sqrt(13) см.
Приблизительно:
a ≈ 6.08 см, b ≈ 3.61 см.
Дополнительно (по желанию): угол α между сторонами можно найти из ab cos α = 7, т.к. ab cos α = (d1^2 − d2^2)/4 = 7. Но сам ответ запрошен как длины сторон, поэтому достаточно a = √37 см и b = √13 см.
Ответ:
Стороны параллелограмма равны √37 см и √13 см (приближенно 6.08 см и 3.61 см).
