Сравните числа а и b, если: b) a =√3 -√41, b= √5-√43 r) a = √13, b = √7 +2; д) a = √29 + √13, b= √31 + √11; e) a = √23 - √73, b = √17 - √67.

Ниже решения по каждой подзадаче. Метод: сравниваем числа вида sqrt(x) ± sqrt(y) через фактологию sqrt(u) − sqrt(v) = (u − v)/(sqrt(u) + sqrt(v)) и сравнение сумм. 1) b) a = √3 − √41, b = √5 − √43 - Найдём разницу: a − b = (√3 − √41) − (√5 − √43) = (√3 − √5) + (√43 − √41) - Применяем разложение: √3 − √5 = (3 − 5)/(√3 + √5) = −2/(√3 + √5); √43 − √41 = (43 − 41)/(√43 + √41) = 2/(√43 + √41) - Значит a − b = −2/(√3 + √5) + 2/(√43 + √41) = 2[ −1/(√3 + √5) + 1/(√43 + √41) ] - Так как √43 + √41 > √3 + √5 > 0, имеем 1/(√43 + √41) < 1/(√3 + √5). Следовательно скобка отрицательна, а значит a − b < 0. - Вывод: a < b. 2) r) a = √13, b = √7 + 2 - Оценим по квадратам: обе стороны неотрицательны, поэтому сравниваем квадраты: a^2 = 13; b^2 = (√7 + 2)^2 = 7 + 4√7 + 4 = 11 + 4√7. - Неравенство 13 < 11 + 4√7 эквивалентно 2 < 4√7, что верно (√7 > 0). Значит a^2 < b^2, следовательно a < b. - Вывод: a < b. 3) д) a = √29 + √13, b = √31 + √11 - Разность: a − b = (√29 − √31) + (√13 − √11) - Применяем разложение: √29 − √31 = (29 − 31)/(√29 + √31) = −2/(√29 + √31); √13 − √11 = (13 − 11)/(√13 + √11) = 2/(√13 + √11) - Значит a − b = −2/(√29 + √31) + 2/(√13 + √11) = 2[ −1/(√29 + √31) + 1/(√13 + √11) ] - Так как √29 + √31 > √13 + √11, имеем 1/(√29 + √31) < 1/(√13 + √11). Следовательно скобка положительна, а значит a − b > 0. - Вывод: a > b. 4) e) a = √23 − √73, b = √17 − √67 - Разность: a − b = (√23 − √73) − (√17 − √67) = (√23 − √17) + (√67 − √73) - Применяем разложение по разности: √23 − √17 = (23 − 17)/(√23 + √17) = 6/(√23 + √17); √67 − √73 = (67 − 73)/(√67 + √73) = −6/(√67 + √73) - Значит a − b = 6/(√23 + √17) − 6/(√67 + √73) = 6[ 1/(√23 + √17) − 1/(√67 + √73) ] - Чтобы получить аналогичную форму, можно также записать через отрицательные разности: √23 − √73 = −50/(√23 + √73); √17 − √67 = −50/(√17 + √67). Тогда a − b = −50/(√23 + √73) + 50/(√17 + √67) = 50[ 1/(√17 + √67) − 1/(√23 + √73) ] - Поскольку √23 + √73 > √17 + √67, имеем 1/(√23 + √73) < 1/(√17 + √67). Следовательно скобка положительна, а значит a − b > 0. - Вывод: a > b. Итог: - b) a < b - r) a < b - д) a > b - e) a > b Если нужно, могу привести дополнительные численные приближения для проверки.