(2x-1)2<8-x
Задача: (2x - 1)^2 < 8 - x
Пошаговое решение
Перенесём всё в одну сторону: (2x - 1)^2 + x - 8 < 0
Раскроем квадрат: (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 Тогда 4x^2 - 4x + 1 + x - 8 < 0 Упростим: 4x^2 - 3x - 7 < 0
Найдём корни квадртного уравнения 4x^2 - 3x - 7 = 0 Дискриминант: D = (-3)^2 - 4·4·(-7) = 9 + 112 = 121 Корни: x = (3 ± √121) / (2·4) = (3 ± 11) / 8 x1 = (3 - 11)/8 = -8/8 = -1 x2 = (3 + 11)/8 = 14/8 = 7/4
Так как коэффициент при x^2 положителен (4 > 0), парабола расправляется снизу вверх, следовательно, неравенство < 0 выполняется между корнями: -1 < x < 7/4
Проверки на границах неравенства: x = -1: левая часть = 9, правая = 9 → не удовлетворяет строгому неравенству x = 7/4: левая часть = правая = 6.25 → тоже не удовлетворяет Поэтому границы не включаются.
Ответ: x ∈ (-1, 7/4)
Обсуждение
2 сообщения25-x2/x+6больше или рано нуля
Решим неравенство:
\[ \frac{25 - x^2}{x + 6} \geq 0 \]
- Найдём нули числителя и знаменателя.
Числитель: \(25 - x^2 = 0\) \[ 25 = x^2 \implies x = \pm 5 \] Таким образом, нули числителя находятся в точках \(x = -5\) и \(x = 5\).
Знаменатель: \(x + 6 = 0\) \[ x = -6 \]
Теперь у нас есть критические точки: -6, -5 и 5.
- Разделим числовую ось на интервалы, используя критические точки:
- \((- \infty, -6)\)
- \((-6, -5)\)
- \((-5, 5)\)
- \((5, +\infty)\)
- Выберем тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить знак дроби:
Для интервала \((- \infty, -6)\) (например, \(x = -7\)): \[ \frac{25 - (-7)^2}{-7 + 6} = \frac{25 - 49}{-1} = \frac{-24}{-1} = 24 \quad (>0) \]
Для интервала \((-6, -5)\) (например, \(x = -5.5\)): \[ \frac{25 - (-5.5)^2}{-5.5 + 6} = \frac{25 - 30.25}{0.5} = \frac{-5.25}{0.5} = -10.5 \quad (<0) \]
Для интервала \((-5, 5)\) (например, \(x = 0\)): \[ \frac{25 - 0^2}{0 + 6} = \frac{25}{6} \quad (>0) \]
Для интервала \((5, +\infty)\) (например, \(x = 6\)): \[ \frac{25 - 6^2}{6 + 6} = \frac{25 - 36}{12} = \frac{-11}{12} \quad (<0) \]
- Подводим итоги:
- \(>0\) на интервалах \((- \infty, -6)\) и \((-5, 5)\)
- \(=0\) при \(x = -5\) и \(x = 5\)
- \(<0\) на интервале \((-6, -5)\) и \((5, +\infty)\)
- Учитывая, что в неравенстве стоит знак \(\geq\), включаем точки -5 и 5 и исключаем точку -6, так как в ней дробь обращается в ноль.
Ответ: \(x \in (-\infty, -6) \cup [-5, 5]\)
