Реши задачу 69 для 9 класса

Задача 69 (9-й класс): Баржа плыла по течению реки 56 км, обратно против течения — 54 км. Всего потратила 5 часов. Скорость течения 5 км/ч. Найдите собственную скорость баржи в неподвижной воде.

Обозначим собственную скорость баржи в покое как v (км/ч).

• Скорость баржи по течению: v + 5 км/ч.
• Скорость против течения: v − 5 км/ч.

Время на путь по течению и обратно:

• Время по течению: 56 / (v + 5)
• Время против течения: 54 / (v − 5)

Сумма времени = 5 часов: 56/(v + 5) + 54/(v − 5) = 5

Решение уравнения:

1. Перемножим на (v+5)(v−5): 56(v − 5) + 54(v + 5) = 5(v^2 − 25)

2. Раскроем скобки: 56v − 280 + 54v + 270 = 5v^2 − 125

3. Объединим члены: 110v − 10 = 5v^2 − 125

4. Перенесем все в одну сторону и сократим: 0 = 5v^2 − 110v − 115 делим на 5: 0 = v^2 − 22v − 23

5. Решим квадратное уравнение: D = (-22)^2 − 4·1·(-23) = 484 + 92 = 576, sqrt(D) = 24 v = [22 ± 24] / 2 v1 = (22 + 24)/2 = 46/2 = 23 v2 = (22 − 24)/2 = −2/2 = −1 (не подходит, скорость не может быть отрицательной)

Ответ: собственная скорость баржи в неподвижной воде равна 23 км/ч.

Проверка:

• Скорость по течению = 23 + 5 = 28 км/ч → время 56/28 = 2 ч
• Скорость против течения = 23 − 5 = 18 км/ч → время 54/18 = 3 ч Всего 2 + 3 = 5 часов, что совпадает с данными задачи.