В прямоугольнике ABCD AB = 3 см, BC = 4 см, M это середина стороны BC. Найдите длины векторов AM и AC.

Задача решается в плоскости геометрии через векторы и координаты.

Дано: прямоугольник ABCD, AB = 3 см, BC = 4 см. M — середина стороны BC.

1. Установим удобную систему координат.

• Пусть A = (0, 0).
• Так как AB = 3 вдоль оси x, B = (3, 0).
• Так как BC = 4 вдоль оси y, C = (3, 4).
• D = (0, 4).

2. Найдем точку M — середину BC.

• B = (3, 0), C = (3, 4) => M = ((3+3)/2, (0+4)/2) = (3, 2).

3. Вектор AM.

• AM = M − A = (3, 2) − (0, 0) = (3, 2).
• Длина вектора AM: |AM| = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13) см ≈ 3.606 см.

4. Вектор AC.

• AC = C − A = (3, 4) − (0, 0) = (3, 4).
• Длина вектора AC: |AC| = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5 см.

Ответ:

• |AM| = sqrt(13) см ≈ 3.606 см.
• |AC| = 5 см.

Замечания:

• Вектор AM можно рассчитать как сумму AB и BM. Так как M — середина BC, BM = (0, 2), а AB = (3, 0), поэтому AM = AB + BM = (3, 2), что даёт тот же результат.
• Диагональ AC прямоугольника имеет длину sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 см.