Найдите точку максимума функции y=(x-4)^2 (x+5)+8

Ищем точку максимума локального характера (глобального максимума у этой кубической функции нет, так как при x → +∞ y → +∞).

1. Дифференцируем y = (x-4)^2 (x+5) + 8 Используем произведение: y' = d[(x-4)^2]/dx · (x+5) + (x-4)^2 · d[x+5]/dx = 2(x-4)(x+5) + (x-4)^2 Факторизуем: y' = (x-4)[2(x+5) + (x-4)] = (x-4)(3x + 6) = 3(x-4)(x+2)

2. Критические точки y' = 0 при x = 4 и x = -2.

3. Второй признак y'' = производная y': y'' = 3[(x-4)(x+2)]' = 3[(x+2) + (x-4)] = 6x - 6

• при x = -2: y'' = 6(-2) - 6 = -18 < 0 → локальный максимум
• при x = 4: y'' = 6(4) - 6 = 18 > 0 → локальный минимум

4. Значение функции в точке локального максимума y(-2) = (-2 - 4)^2 (-2 + 5) + 8 = (-6)^2 · 3 + 8 = 36 · 3 + 8 = 108 + 8 = 116

Ответ: Локальный максимум функции достигается в точке (-2, 116).

Замечание: глобального максимума у данной функции нет, так как при x → +∞ y → +∞.