представить в тригонометрической форме комплексные числа а) 2+4i б) корень из 3 -i в) 2001 г) 2cos пи/3 -2i sin пи/3

Ниже решение в тригонометрической форме z = r (cos φ + i sin φ), где r = sqrt(a^2 + b^2), φ = arctan2(b, a) (угол в нужной четверти).

a) z = 2 + 4i

• r = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20) = 2√5
• φ: Re > 0, Im > 0, tan φ = 4/2 = 2 → φ = arctan(2) ≈ 1.1071 rad (≈ 63.435°)
• тригонометрическая форма: z = 2√5 [cos(arctan 2) + i sin(arctan 2)] Можно заметить cos φ = 1/√5, sin φ = 2/√5, поэтому z = 2√5 (1/√5 + i · 2/√5) = 2 + 4i. Так что эквивалентно: z = 2√5 (cos(arctan 2) + i sin(arctan 2)).

b) z = √3 − i

• r = sqrt((√3)^2 + (-1)^2) = sqrt(3 + 1) = 2
• φ: Re > 0, Im < 0, tan φ = −1/√3 → φ = −π/6 (или 11π/6)
• тригонометрическая форма: z = 2 [cos(−π/6) + i sin(−π/6)] Эквивалентно: z = 2 (cos 11π/6 + i sin 11π/6).

c) z = 2001

• r = 2001, φ = 0
• тригонометрическая форма: z = 2001 [cos 0 + i sin 0] = 2001 (или 2001 cis 0).

d) z = 2 cos(π/3) − 2i sin(π/3)

• Приведём к виду r [cos φ + i sin φ]: 2 cos(π/3) − 2i sin(π/3) = 2[cos(π/3) − i sin(π/3)] = 2[cos(−π/3) + i sin(−π/3)]
• Здесь r = 2, φ = −π/3 (или φ = 5π/3)
• тригонометрическая форма: z = 2 [cos(−π/3) + i sin(−π/3)] (или 2[cos 5π/3 + i sin 5π/3]); эквивалентно z = 2 cis(−π/3).