Вычислите f'(π/6), если f(x) =√2 sinx- x sin π\6+ (x/π)² - 11

Решение по шагам

1. Запишем функцию и упростим константные множители: f(x) = √2 sin x − x sin(π/6) + (x/π)^2 − 11. Поскольку sin(π/6) = 1/2, получаем: f(x) = √2 sin x − (1/2) x + (x^2)/(π^2) − 11.

2. Найдем производную по переменной x, используя линейность суммы и стандартные правила:

• d/dx [√2 sin x] = √2 cos x,
• d/dx [−(1/2) x] = −1/2,
• d/dx [(x^2)/(π^2)] = (2x)/(π^2),
• d/dx [−11] = 0.

Итак, f'(x) = √2 cos x − 1/2 + (2x)/(π^2).

3. Оценим производную в точке x = π/6: cos(π/6) = √3/2, поэтому f'(π/6) = √2 · (√3/2) − 1/2 + (2·(π/6))/(π^2) = (√6)/2 − 1/2 + π/(3π^2) = (√6)/2 − 1/2 + 1/(3π).

4. Запишем итог в удобном виде и округление по желанию: Точное значение: f'(π/6) = (√6 − 1)/2 + 1/(3π). Приближённо: ≈ 0.83085.

Ответ: f'(π/6) = (√6 − 1)/2 + 1/(3π) ≈ 0.83085.