Барабан молотилки, момент инерции которого 30 кг-м², делает 1200 об/мин. После выключения мотора барабан останавливается через 5 мин. Опреде
Задача (по смыслу): момент инерции J = 30 кг·м², барабан вращается со скоростью n0 = 1200 об/мин. После отключения мотора он останавливается через t = 5 мин. Найти угловое ускорение и тормозной момент (и при желании дополнительную информацию).
Пошаговое решение
- Преобразование скоростей в удобные единицы
ω0 (начальная угловая скорость) = 1200 об/мин × (2π рад/об) × (1 мин/60 с) = 1200 × 2π / 60 = 40π rad/s ≈ 125.66 rad/s.
Финальная скорость ωf = 0 rad/s (при остановке).
Время торможения t = 5 мин = 300 с.
- Угловое ускорение
- При предположении постоянного торможения α: ωf = ω0 + α t ⇒ α = (ωf − ω0) / t = −ω0 / t.
- α = −(40π) / 300 = −2π/15 rad/s² ≈ −0.4189 rad/s².
- Тормозной момент (момент сопротивления) τ
- τ = J α = 30 × (−2π/15) = −4π N·м ≈ −12.57 N·м.
- Знак минус означает, что момент направлен противоположно вращению. Модуль тормозного момента ≈ 12.6 N·м.
- Дополнительные характеристики (по желанию)
Энергия вращения, которую нужно рассеять (начальная кинетическая энергия): KE0 = (1/2) J ω0² = 0.5 × 30 × (40π)² = 15 × 1600 π² = 24000 π² ≈ 2.37 × 10^5 Дж.
Средняя мощность рассеиваемой энергии за время торможения: Pсред = KE0 / t ≈ (2.37×10^5 Дж) / 300 s ≈ 790 Вт.
Угол, пройденный барабаном во время торможения: θ = ω0 t + (1/2) α t² = ω0 t + 0.5 α t². С учётом α = −ω0/t, θ = (ω0 t) − (1/2) ω0 t = (1/2) ω0 t = (ω0/2) t. Значит θ = (125.66 rad/s / 2) × 300 s = 62.83 × 300 ≈ 18849 rad. В оборотах: θ/(2π) ≈ 18849 / 6.283 ≈ 3000 об.
Итого
- Начальная угловая скорость ω0 = 125.66 rad/s (≈ 1200 об/мин)
- Угловое ускорение α ≈ −0.419 rad/s²
- Тормозной момент τ ≈ −12.6 N·м (модуль 12.6 N·м)
- Энергия, рассеяемая за время торможения ≈ 237 кДж
- Средняя мощность ≈ 790 W
- Барабан совершит примерно 3000 оборотов во время остановки.
