Реши 12 задачу

Задача дана так: прямоугольник ABCD (A внизу слева, B сверху слева, C справа сверху, D справа снизу). Точка K лежит на диагонали BD, CK ⟂ BK, и CK = 10. Угол β = ∠ABK существует при B, и tan β = 2,5. Обозначим высоту прямоугольника как h = AB, ширину как w = BC. Тогда площадь S прямоугольника равна S = w·h. 1) Связь tan β с сторонами - Вектор BK имеет горизонтальную составляющую w и вертикальную —h (на единицу масштаба BK пропорционален BD). Отсюда tan β = горизонтальная часть / вертикальная часть = w/h. - дано tan β = 2,5, значит w = 2,5·h. 2) Параметризация точки K на BD - Пусть K разбивает BD в отношении t: K = B + t(D − B). - В координатах: A(0,0), B(0,h), C(w,h), D(w,0). Тогда D − B = (w, −h), и K = (tw, h − th). 3) Сусловие перпендикулярности BK и CK - BK = K − B = (tw, −th). - CK = K − C = (tw − w, h − th − h) = (w(t − 1), −ht). - BK · CK = 0 даёт t: t w^2 + t h^2 − w^2 = 0 ⇒ t = w^2/(w^2 + h^2). 4) Длина CK через w и h - CK^2 = w^2(1 − t)^2 + h^2 t^2. - Подставим t = w^2/(w^2 + h^2) и упрощаем: CK^2 = w^2 h^2/(w^2 + h^2). - Так как CK = 10, имеем: w^2 h^2/(w^2 + h^2) = 100. 5) Подстановка w = 2,5h - w = 2,5h ⇒ w^2 = 6,25 h^2. - Подставляем в формулу CK^2: CK^2 = (w^2 h^2)/(w^2 + h^2) = (6,25 h^4) / (7,25 h^2) = (6,25/7,25) h^2 = (25/29) h^2. - Значит (25/29) h^2 = 100 ⇒ h^2 = 100 · 29 / 25 = 116. 6) Находим ширину и площадь - h^2 = 116 → h = sqrt(116). - w = 2,5h ⇒ площадь S = w·h = (2,5 h)·h = 2,5 h^2 = 2,5·116 = 290. Ответ: площадь прямоугольника равна 290 квадратных единиц.