Реши 12 задачу

Задача дана так: прямоугольник ABCD (A внизу слева, B сверху слева, C справа сверху, D справа снизу). Точка K лежит на диагонали BD, CK ⟂ BK, и CK = 10. Угол β = ∠ABK существует при B, и tan β = 2,5.

Обозначим высоту прямоугольника как h = AB, ширину как w = BC. Тогда площадь S прямоугольника равна S = w·h.

1. Связь tan β с сторонами

• Вектор BK имеет горизонтальную составляющую w и вертикальную —h (на единицу масштаба BK пропорционален BD). Отсюда tan β = горизонтальная часть / вертикальная часть = w/h.
• дано tan β = 2,5, значит w = 2,5·h.

2. Параметризация точки K на BD

• Пусть K разбивает BD в отношении t: K = B + t(D − B).
• В координатах: A(0,0), B(0,h), C(w,h), D(w,0). Тогда D − B = (w, −h), и K = (tw, h − th).

3. Сусловие перпендикулярности BK и CK

• BK = K − B = (tw, −th).
• CK = K − C = (tw − w, h − th − h) = (w(t − 1), −ht).
• BK · CK = 0 даёт t: t w^2 + t h^2 − w^2 = 0 ⇒ t = w^2/(w^2 + h^2).

4. Длина CK через w и h

• CK^2 = w^2(1 − t)^2 + h^2 t^2.
• Подставим t = w^2/(w^2 + h^2) и упрощаем: CK^2 = w^2 h^2/(w^2 + h^2).
• Так как CK = 10, имеем: w^2 h^2/(w^2 + h^2) = 100.

5. Подстановка w = 2,5h

• w = 2,5h ⇒ w^2 = 6,25 h^2.
• Подставляем в формулу CK^2: CK^2 = (w^2 h^2)/(w^2 + h^2) = (6,25 h^4) / (7,25 h^2) = (6,25/7,25) h^2 = (25/29) h^2.
• Значит (25/29) h^2 = 100 ⇒ h^2 = 100 · 29 / 25 = 116.

6. Находим ширину и площадь

• h^2 = 116 → h = sqrt(116).
• w = 2,5h ⇒ площадь S = w·h = (2,5 h)·h = 2,5 h^2 = 2,5·116 = 290.

Ответ: площадь прямоугольника равна 290 квадратных единиц.