х^4+3х^2-4=0

Задача: x^4 + 3x^2 - 4 = 0

Пошаговое решение и пояснения:

1. Признание структуры

• Уравнение степеней по x через x^2 — это биквадратное (в выражении встречается x^4 и x^2). Сделаем подстановку: пусть t = x^2. Тогда уравнение преобразуется в квадратное относительно t: t^2 + 3t - 4 = 0.

2. Решение квадратного уравнения для t

• Разложим на множители: t^2 + 3t - 4 = (t + 4)(t - 1) = 0.
• Значения t: t = 1 или t = -4.

3. Обратная подстановка и ограничение реальности корней

• Так как t = x^2, то t≥0.
• Значение t = -4 отвергаем (оно не может быть квадратом реального числа).
• Осталось t = 1 ⇒ x^2 = 1 ⇒ x = -1 или x = 1.

4. Включение комплексных корней (для полного набора корней)

• Если рассматривать комплексные корни, то из t = -4 получаем x^2 = -4 ⇒ x = ± 2i.
• Альтернативный способ: разложить исходный многочлен на множители: x^4 + 3x^2 - 4 = (x^2 - 1)(x^2 + 4) = 0. Корни: x^2 - 1 = 0 ⇒ x = ±1; x^2 + 4 = 0 ⇒ x = ±2i.

5. Ответ

• Реальные корни: x = -1 и x = 1.
• Полный набор корней (в комплексной области): x = -1, 1, 2i, -2i.

Проверка (пример):

• При x = 1: 1^4 + 3·1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.
• При x = -1: (-1)^4 + 3·(-1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.
• При x = 2i: x^2 = -4, x^4 = 16; 16 + 3(-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.