Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Параллельно периметр этого параллелограмма, если BC в точке K найдите периметр этого параллелограмма, если…

Задача: в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Даны BK = 15 см, KC = 9 см. Найти периметр параллелограмма.

Решение пошагово:

1. Обозначения и базовые факты

• Пусть AB = a (длину AB нужно найти), AD = BC (противолежащие стороны параллелограмма равны). Из BK и KC получаем длину BC: BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см. Значит AD = BC = 24 см.
• Пусть векторы: AB = u, AD = v. Тогда B = A + u, C = B + v = A + u + v. Сторона BC направлена вдоль v и имеет длину |v| = 24.

2. Положение точки K

• BC направлена вдоль v, и BK = 15 см. От B до K движение вдоль v на длину BK, поэтому параметр s = BK / BC = 15 / 24 = 5/8.
• Координата точки K относительно A: K = B + s v = (A + u) + s v, то векторовое направление AK равно w = K − A = u + s v = u + (5/8) v.

3. Условие бисекции угла A

• AK — бисектриса угла BAD. Значит AK направлена так, чтобы образовывать равные углы с AB (направлением u) и AD (направлением v).
• Вектор направления бисектрисы пропорционален сумме единичных векторов по u и по v: w ∥ u/|u| + v/|v|. Здесь |u| = a, |v| = 24, поэтому: u + (5/8) v ∥ u/a + v/24.

4. Сопоставление коэффициентов Так как u и v линейно независимы, равенство двух направлений эквивалентно существованию положительного числа t, такого что: u + (5/8) v = t (u/a + v/24). Поравняем коэффициенты по векторам u и v:

• по u: 1 = t (1/a) → t = a
• по v: 5/8 = t (1/24) → 5/8 = a/24

Отсюда a = 24 · (5/8) = 15.

5. Периметр параллелограмма Perimeter P = 2(AB + BC) = 2(a + BC) = 2(15 + 24) = 2 · 39 = 78 см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 78 см.