Задача: найти наибольший общий делитель (НОД) для пар чисел: (42, 105), (588, 252), (680, 612). Выполню по шагам методом Евклида и добавлю короткую проверку на факторизацию.
- НОД(42, 105)
- Пусть большее число — 105, меньшее — 42.
- 105 = 42 × 2 + 21
- 42 = 21 × 2 + 0
- Когда остаток стал 0, НОД равен последнему ненулевому остатку: 21
Пояснение факторизацией (для понимания):
42 = 2 × 3 × 7, 105 = 3 × 5 × 7. Общие примыслители: 3 и 7 → 3 × 7 = 21.
Ответ: НОД(42, 105) = 21.
- НОД(588, 252)
- Большее число — 588, меньшее — 252.
- 588 = 252 × 2 + 84
- 252 = 84 × 3 + 0
- Остаток стал 0 → НОД = 84
Факторизация как проверка:
588 = 2² × 3 × 7², 252 = 2² × 3² × 7. Общие множители: 2², 3 и 7 → 2² × 3 × 7 = 4 × 21 = 84.
Ответ: НОД(588, 252) = 84.
- НОД(680, 612)
- Большее число — 680, меньшее — 612.
- 680 = 612 × 1 + 68
- 612 = 68 × 9 + 0
- Остаток стал 0 → НОД = 68
Факторизационная проверка:
680 = 68 × 10, 612 = 68 × 9. Общий множитель 68, следовательно НОД = 68.
Ответ: НОД(680, 612) = 68.
Итог:
- НОД(42, 105) = 21
- НОД(588, 252) = 84
- НОД(680, 612) = 68
Если хочешь, могу показать альтернативное решение через разложение на простые множители или дать задачи на аналогичном примере для закрепления.
