екі жазықтықтың а) бір ортақ нүктесі ә) екі ортақ нүктесі болуы мүмкін бе

Мәселе: екі жазықтықтың а) бір ортақ нүктесі болуы мүмкін бе; ә) екі ортақ нүктесі болуы мүмкін бе?

Қысқаша жауап:

• а) мүмкін емес. Екі жазықтықтың қиылысы не сызық бойымен шексіз нүктелерге түзіледі, не қиылыспайды, не бірдей жазықтық болады. Бір нүкте арқылы ғана қиылысуы мүмкін емес.
• ә) да мүмкін емес. Екі жазықтықтың қиылысуы әрқашан сызық бойымен өтетін шексіз көп нүктеден тұрады (егер олар өзара қиылмаса — қиылысуы жоқ; егер олар бірдей жазықтық болса — ниспетін жазықтықтың барлық нүктелері).

Түсіндіру бойынша толық объяснение (қадамдық):

1. Екі жазықтықтың жалпы жағдайлары

• Егер жазықтықтар параллель болса және бір-біріне тең болмаса, қиылысуы жоқ.
• Егер жазықтықтар параллель емес болса, олар сызық бойымен қиылысады. Бұл сызық бойынша шексіз көп нүкте болады.
• Егер екі жазықтық бірдей болса (бірдей жазықтықтың екі теңдігі), олардың қиылысы — бүкіл жазықтық, яғни шексіз көп нүкте.

2. Неліктен бір ортақ нүкте болмайды

• Екі жазықтық қиылысқанда ғана екі кіру жолы бар: не жоқ (параллель емес), не сызық бойымен көп нүкте (егер қиылысса), не бірдей болса (всё жазықтық).
• Ешқашан екі жазықтықтың қиылысында тек бір ғана нүкте болмайды, себебі екі теңдік жүйесі үш айнымалыға қатысты қосымша шексіз шешімді береді:
  • Нақты шешімдер саны: 0 (жоқ), бесконечно много (сызық, шексіз нүкте), или бесконечно много (орташа жазықтық болса — бүкіл жазықтық).
• Сондықтан а) бір ортақ нүкте болуы мүмкін емес.

3. Неліктен екі ортақ нүкте болмайды

• Сол себеппен екі жазықтықтың қиылысуы әрқашан сызық болады, яғни шексіз көп нүкте. Екі ортақ нүкте — екі нақты нүкте ғана емес, сызық бойымен өтетін көп нүктелер болады.
• Мысалдар:
  • Параллель емес және шынайы қиылысатын жазықтықтар: P1: x + y + z = 1; P2: x - y + z = 2. Оларды шешкенде айнымалылардың бір параметрге тәуелді екені байқалады → қиылысуы сызык (шексіз нүкте).
  • Параллель емес не параллельді емес жағдайды айқындау үшін нормалдарын салыстыруға болады: n1 ≠ k n2. Егер n1 және n2 параллельді болса, қиылыс жоқ; егер параллель емес болса, қиылыс сызық.

4. Қысқаша қорытынды

• Екі жазықтықтың қиылысу нәтижесі үш жағдайда болады: қиылыс жоқ (параллельді түрлі жазықтықтар), қиылысуы — сызық (шексіз көп нүкте), не екі жазықтық бірдей болса — бүкіл жазықтық (шексіз көп нүкте).
• Сондықтан:
  • а) бір ортақ нүктесі болады деп айтуға болмайды — мүмкін емес.
  • ә) екі ортақ нүктесі болады деп айтуға болмайды — болмайды; қиылысуы сызық бойымен шексіз көп нүктеден тұрады.

Қысқа примерлер

• Мысал 1 (қысқаша дәлел): P1: x = 0; P2: y = 0. Қиылыс — барлығы (0,0,z), z еркин. Шексіз нүкте.
• Мысал 2 (қауіптеу — жоқ): P1: x = 0; P2: x = 1. Қиылыс жоқ.
• Мысал 3 (бірдей жазықтық): P1: x + y + z = 1; P2: 2x + 2y + 2z = 2. Екі жазықтық бірдей → барлық нүктелер қиылыс нүктелері болады. Шексіз.

Егер қажет болса, нақты жазықтықтардың теңдеулерін беріп, олардың қиылысын нақты есептеп придирлі түрде көрсетіп берейін.