Екі жазықтықтың а) бір ортақ нүктесі ә) екі ортақ нүктесі болуы мүмкін бе

Мәселе: екі жазықтықтың а) бір ортақ нүктесі болуы мүмкін бе; ә) екі ортақ нүктесі болуы мүмкін бе? Қысқаша жауап: - а) мүмкін емес. Екі жазықтықтың қиылысы не сызық бойымен шексіз нүктелерге түзіледі, не қиылыспайды, не бірдей жазықтық болады. Бір нүкте арқылы ғана қиылысуы мүмкін емес. - ә) да мүмкін емес. Екі жазықтықтың қиылысуы әрқашан сызық бойымен өтетін шексіз көп нүктеден тұрады (егер олар өзара қиылмаса — қиылысуы жоқ; егер олар бірдей жазықтық болса — ниспетін жазықтықтың барлық нүктелері). Түсіндіру бойынша толық объяснение (қадамдық): 1) Екі жазықтықтың жалпы жағдайлары - Егер жазықтықтар параллель болса және бір-біріне тең болмаса, қиылысуы жоқ. - Егер жазықтықтар параллель емес болса, олар сызық бойымен қиылысады. Бұл сызық бойынша шексіз көп нүкте болады. - Егер екі жазықтық бірдей болса (бірдей жазықтықтың екі теңдігі), олардың қиылысы — бүкіл жазықтық, яғни шексіз көп нүкте. 2) Неліктен бір ортақ нүкте болмайды - Екі жазықтық қиылысқанда ғана екі кіру жолы бар: не жоқ (параллель емес), не сызық бойымен көп нүкте (егер қиылысса), не бірдей болса (всё жазықтық). - Ешқашан екі жазықтықтың қиылысында тек бір ғана нүкте болмайды, себебі екі теңдік жүйесі үш айнымалыға қатысты қосымша шексіз шешімді береді: - Нақты шешімдер саны: 0 (жоқ), бесконечно много (сызық, шексіз нүкте), или бесконечно много (орташа жазықтық болса — бүкіл жазықтық). - Сондықтан а) бір ортақ нүкте болуы мүмкін емес. 3) Неліктен екі ортақ нүкте болмайды - Сол себеппен екі жазықтықтың қиылысуы әрқашан сызық болады, яғни шексіз көп нүкте. Екі ортақ нүкте — екі нақты нүкте ғана емес, сызық бойымен өтетін көп нүктелер болады. - Мысалдар: - Параллель емес және шынайы қиылысатын жазықтықтар: P1: x + y + z = 1; P2: x - y + z = 2. Оларды шешкенде айнымалылардың бір параметрге тәуелді екені байқалады → қиылысуы сызык (шексіз нүкте). - Параллель емес не параллельді емес жағдайды айқындау үшін нормалдарын салыстыруға болады: n1 ≠ k n2. Егер n1 және n2 параллельді болса, қиылыс жоқ; егер параллель емес болса, қиылыс сызық. 4) Қысқаша қорытынды - Екі жазықтықтың қиылысу нәтижесі үш жағдайда болады: қиылыс жоқ (параллельді түрлі жазықтықтар), қиылысуы — сызық (шексіз көп нүкте), не екі жазықтық бірдей болса — бүкіл жазықтық (шексіз көп нүкте). - Сондықтан: - а) бір ортақ нүктесі болады деп айтуға болмайды — мүмкін емес. - ә) екі ортақ нүктесі болады деп айтуға болмайды — болмайды; қиылысуы сызық бойымен шексіз көп нүктеден тұрады. Қысқа примерлер - Мысал 1 (қысқаша дәлел): P1: x = 0; P2: y = 0. Қиылыс — барлығы (0,0,z), z еркин. Шексіз нүкте. - Мысал 2 (қауіптеу — жоқ): P1: x = 0; P2: x = 1. Қиылыс жоқ. - Мысал 3 (бірдей жазықтық): P1: x + y + z = 1; P2: 2x + 2y + 2z = 2. Екі жазықтық бірдей → барлық нүктелер қиылыс нүктелері болады. Шексіз. Егер қажет болса, нақты жазықтықтардың теңдеулерін беріп, олардың қиылысын нақты есептеп придирлі түрде көрсетіп берейін.