Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр…

Ответ: 28

Обозначим стороны параллелограмма как a и b, где a ≥ b (также периметр равен 2(a + b) = 88 → a + b = 44).

Пусть AB = a, BC = b. Пусть ∠B – obtuse, а BE – биссектриса угла B, пересекающая противоположную сторону CD в точке E. По условию CE:ED = 4:3 (от вершины C, которая острый угол).

Используем координатный подход. Разместим A(0,0), B(a,0). Тогда D = (b cosφ, b sinφ), C = (a + b cosφ, b sinφ), где φ = ∠(AB, BC) и 0 < φ < 90°, поэтому ∠B = 180° − φ.

Направляющий вектор биссектрисы BE есть сумма единичных векторов вдоль BA и BC: (-1,0) + (cosφ, sinφ) = (cosφ − 1, sinφ). Прямая BE: B + t(cosφ − 1, sinφ).

Пусть BE пересекает CD (y = b sinφ). Тогда t sinφ = b sinφ → t = b. Координата по x: x_E = a + b(cosφ − 1) = a − b + b cosφ.

С другой стороны, на CD точка E делит CD в отношении CE:ED = 4:3, т. е. E = C + (4/7)(D − C). Тогда x_E = (a + b cosφ) + (4/7)(−a) = (3/7)a + b cosφ.

Приравниваем: a − b + b cosφ = (3/7)a + b cosφ → a − b = (3/7)a → b = (4/7)a.

Таким образом, a : b = 7 : 4. С учетом периметра 2(a + b) = 88 получаем a + b = 44. Пусть a = 7k, b = 4k, 11k = 44 → k = 4. Следовательно a = 28, b = 16. Большая сторона параллелограмма равна 28.