Найдите все натуральные числа n, для которых число 3^n - 2^n - простое и 6^n + 2^n+1 + 1 делится на 3^n - 2^n.

Задача: найти все натуральные n такие, что число 3^n − 2^n является простым и число 6^n + 2^{n+1} + 1 делится на 3^n − 2^n. (Понимаю, что во второй части выражение трактуется как 6^n + 2^{n+1} + 1; если же имелось в виду другое, дайте знать, и я скорректирую решение.)

Решение

1. Пусть p = 3^n − 2^n — простое.

• Если n составное, скажем n = ab с a > 1 и b > 1, то: 3^n − 2^n = (3^a)^b − (2^a)^b = (3^a − 2^a) · [сумма], где обе множители больше единицы (так как a ≥ 2 даёт 3^a − 2^a ≥ 5). Следовательно, p было бы составным, противоречие. Значит, n должно быть простым.

2. Пусть p делит и второе выражение: S = 6^n + 2^{n+1} + 1. Из условия p | (3^n − 2^n) имеем 3^n ≡ 2^n (mod p). Тогда 6^n = (3 · 2)^n = 3^n · 2^n ≡ 2^n · 2^n = 2^{2n} (mod p). Следовательно S ≡ 2^{2n} + 2^{n+1} + 1 ≡ (2^n)^2 + 2·(2^n) + 1 = (2^n + 1)^2 (mod p).

Так как p простое и p | S, то p делит квадрат, значит p делит основание: p | (2^n + 1).

3. От того, что p делит (2^n + 1), следует неравенство p = 3^n − 2^n ≤ 2^n + 1, то есть 3^n ≤ 2^{n+1} + 1.

4. Это неравенство возможно только для очень малых n. Проверим:

• n = 1: p = 3 − 2 = 1 (не простое).
• n = 2: p = 3^2 − 2^2 = 9 − 4 = 5 (простое), и неравенство 3^2 ≤ 2^3 + 1 даёт 9 ≤ 9, истинно.
• n ≥ 3: 3^n > 2^{n+1} + 1 (например, для n = 3: 27 > 17, и далее разница растёт).

Поэтому единственное возможное значение n — это n = 2. Проверка:

• p = 3^2 − 2^2 = 5 (простое).
• S = 6^2 + 2^{3} + 1 = 36 + 8 + 1 = 45, и 45 делится на 5.

Итак, единственное натуральное n, удовлетворяющее условию, — n = 2.