разность корней уравнения х²-7х+q=0 равна 16 найдите q

Задача: разность корней уравнения x^2 - 7x + q = 0 равна 16. Найдите q.

Данные: a = 1, b = -7, c = q. Пусть корни равны r1 и r2. Тогда |r1 - r2| = 16.

Способы решения (рациональные шаги):

Способ 1: через дискриминант

• Разность корней равна |r1 - r2| = sqrt(Δ)/|a|, где Δ = b^2 - 4ac.
• Так как a = 1, получаем |r1 - r2| = sqrt(Δ) = 16, следовательно Δ = 256.
• Вычислим Δ: Δ = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4·1·q = 49 - 4q.
• Приравниваем к 256: 49 - 4q = 256.
• Решаем: -4q = 256 - 49 = 207 ⇒ q = -207/4.

Способ 2: через сумму и произведение корней

• Сумма корней r1 + r2 = -b/a = 7.
• Произведение r1 r2 = c/a = q.
• Разность квадратов: (r1 - r2)^2 = (r1 + r2)^2 - 4 r1 r2 = 7^2 - 4q = 49 - 4q.
• По условию (r1 - r2)^2 = 16^2 = 256.
• Значит 49 - 4q = 256 ⇒ q = -207/4.

Ответ: q = -207/4 (то есть -51.75). Проверка: корни равны (7 ± 16)/2 = 23/2 и -9/2, разность 23/2 - (-9/2) = 32/2 = 16. Всё верно.