Доказать, что функция y=f(x) является периодической с периодом 2π, если y=sin x +1

К задаче: доказать, что y = f(x) = sin x + 1 имеет период 2π. Пошаговое доказательство: 1) Вспомним определение периода - Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если для всех действительных x выполняется f(x + T) = f(x). 2) Подстановка T = 2π - Посчитаем f(x + 2π): f(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1. 3) Применим формулу синуса синуса суммы - sin(x + 2π) = sin x cos 2π + cos x sin 2π. - Из треугольной тригонометрии: cos 2π = 1, sin 2π = 0. - Значит sin(x + 2π) = sin x · 1 + cos x · 0 = sin x. 4) Завершение доказательства - Следовательно f(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1 = sin x + 1 = f(x) для любого x. - Таким образом, 2π является периодом функции f. 5) Дополнение о минимальности периода (по желанию) - Поскольку f(x) = sin x + 1 просто сдвигает график функции sin x по вертикали на 1, период не изменяется: период sin x равен 2π, и это минимальный положительный период. - Значит, основным (меньшим положительным) периодом f является 2π, а любой период f имеет вид 2πk для целого k ≠ 0 (то есть кратные 2π). Итог: функция f(x) = sin x + 1 периодическая с периодом 2π (и 2π является её фундаментальным периодом).