доказать, что функция y=f(x) является периодической с периодом 2π, если y=sin x +1

К задаче: доказать, что y = f(x) = sin x + 1 имеет период 2π.

Пошаговое доказательство:

1. Вспомним определение периода

• Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если для всех действительных x выполняется f(x + T) = f(x).

2. Подстановка T = 2π

• Посчитаем f(x + 2π): f(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1.

3. Применим формулу синуса синуса суммы

• sin(x + 2π) = sin x cos 2π + cos x sin 2π.
• Из треугольной тригонометрии: cos 2π = 1, sin 2π = 0.
• Значит sin(x + 2π) = sin x · 1 + cos x · 0 = sin x.

4. Завершение доказательства

• Следовательно f(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1 = sin x + 1 = f(x) для любого x.
• Таким образом, 2π является периодом функции f.

5. Дополнение о минимальности периода (по желанию)

• Поскольку f(x) = sin x + 1 просто сдвигает график функции sin x по вертикали на 1, период не изменяется: период sin x равен 2π, и это минимальный положительный период.
• Значит, основным (меньшим положительным) периодом f является 2π, а любой период f имеет вид 2πk для целого k ≠ 0 (то есть кратные 2π).

Итог: функция f(x) = sin x + 1 периодическая с периодом 2π (и 2π является её фундаментальным периодом).