В июле 2026 года планируется взять кредит в банке некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;…
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 39 300 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задача: взять сумму P в июле 2026 года. Каждый январь долг увеличивается на 25% (умножаем на 5/4); с февраля по июнь каждого года выплачиваем одним платежом часть долга. Всего три равных платежа за три года. Общая сумма платежей больше взятой суммы на 39 300 рублей. Найти P.
Обозначим:
- P — взятая сумма (начальный долг в июле 2026).
- X — размер каждого годового платежа (Feb–Jun каждого года), три платежа.
Пошаговое моделирование долга по годам:
- Конец 2026 года долг равен P.
- Январь 2027: долг увеличивается на 25% → перед платежом в феврале 2027 долг = (5/4)P. После платежа = (5/4)P − X.
- Январь 2028: долг на конец года 2027 до увеличения = (5/4)P − X; увеличиваем на 25% → перед платежом в феврале 2028 долг = (5/4)[(5/4)P − X] = (25/16)P − (5/4)X. После платежа = (25/16)P − (9/4)X.
- Январь 2029: перед платежом в феврале 2029 долг = (5/4)[(25/16)P − (9/4)X] = (125/64)P − (45/16)X. После платежа = (125/64)P − (61/16)X.
Задача: долг полностью погашен после трех равных платежей, значит D3 = 0: (125/64)P − (61/16)X = 0 Отсюда X = (125/64) / (61/16) · P = (125/64) · (16/61) · P = (125/244)P.
Итого общая сумма платежей за три года: 3X = 3 · (125/244)P = (375/244)P.
Условие задачи: общая сумма платежей на 39 300 рублей больше взятой суммы: 3X = P + 39 300 (375/244)P = P + 39 300 (375/244 − 1)P = 39 300 (131/244)P = 39 300 P = 39 300 · 244 / 131 = 73 200 рублей.
Размер одного платежа: X = (125/244)P = (125/244) · 73 200 = 37 500 рублей.
Проверка по шагам:
- Конец 2026: долг 73 200.
- Январь 2027: увелич. до 91 500; выплатить 37 500 → долг 54 000.
- Январь 2028: увеличить до 67 500; выплатить 37 500 → долг 30 000.
- Январь 2029: увеличить до 37 500; выплатить 37 500 → долг 0.
Ответ: взято 73 200 рублей. Каждый год платёж составляет 37 500 рублей. Совокупность платежей (112 500) превышает сумму кредита на 39 300, как и требуется.
